Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 92

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 152 >> Следующая

Уравнение (8.1.6) (или (8.1.7)) и представление решения в виде
линейной комбинации векторов v(fe) (8.1.8) позволяют преобразовать второй
член разложения к виду
LW= ZS*(0^v<fc) = ZS*(0^v(*). (8.1.13)
k k
Третий член представляет собой своего рода "стенографическую" запись
следующего громоздкого выражения:
N" : W : W = Д- Zb, V) 5,- (О S,
(8.1.14)
Аналогичным образом определяются и члены более высокого порядка.
Поскольку мы намереваемся вывести уравнения для \k,
нам необходимо исключить векторы v№) . Воспользуемся для этого введенными
в разд. 2.5 дуальными собственными векторами. Эти собственные векторы
v(ft), (8.1.15)
не зависящие в рассматриваемом нами случае от времени как векторы V,
обладают следующим свойством ортогональности:
(v(feVfe,)) = 6,r- (8.1.16)
Качественные макроскопические изменения
265
Образуя скалярное произведение векторов (8.1.10) и (8.1.15) и используя
разложения (8.1.11), получаем уравнение
L (0 = Ыь (0 + Z tk. (0 tv (0 (vkN$>v) + ... , (8.1.17)
"T(2)
Akk' k"
(/4(2) - введенное нами сокращенное обозначение для коэффициента при
Е/b'lr)- Аналогичным образом определяются и старшие члены, и мы получаем
окончательный результат - разложение
ik = ^ktk ~t~ S Akk'vtk'tk" + A^kvvv'tk'tvtk'" + ••• .
kk" k'k"k"'
(8.1.18)
8.2. Простое вещественное собственное значение становится положительным
Перенумеруем собственные значения так, чтобы то из них, которое имеет
наибольшую вещественную часть, получило индекс 1. Пусть это собственное
значение вещественно и не вырождено, а управляющие параметры такие, что
(а) изменяет знак, переходя от отрицательного значения к положительному.
Нас будет интересовать случай, когда выполняется неравенство
Ма)>0, (8.2.1)
а вещественные части всех остальных собственных значений еще
отрицательны. Так как неравенство (8.2.1) в анализе устойчивости по
линейному приближению свидетельствует о неустойчивости соответствующего
решения, в то время как неравенства
Re{A2}, . . . <Со<0 (8.2.2)
указывают на то, что все остальные решения еще остаются устойчивыми, мы
можем подчеркнуть это обстоятельство, выбрав более выразительные
обозначения. Пусть для
Ma):?i(*) = "(0, h = K, (8-2.3)
где и означает unstable (неустойчивое), а для
V >2 :lk,{t)=sk. _,(0, (8.2.4)
k
где s означает stable (устойчивое). Необходимо подчеркнуть, что наши
новые обозначения могут приводить к недоразумениям, которых следует
всячески избегать. Дело в том, что говоря о "неустойчивых" и "устойчивых"
решениях, мы имеем в виду решения неустойчивые или устойчивые лишь в
линейном приближении. Как мы увидим дальше, во многих случаях моды,
бывшие неустойчивыми в линейном приближении, стабилизируются при
включении
266
Глава 8
нелинейности, и наша главная задача будет состоять в исследовании новых
областей устойчивости решений и.
Итак, под и и s надлежит понимать моды, которые при анализе устойчивости
по линейному приближению характеризуются свойствами (8.2.1), (8.2.2).
После этих предварительных замечаний мы разобьем уравнение (8.1.18) по
индексам 1, 2, . . . на уравнения
и - Хии Аи^ и и ^ ulu ¦ Sk -р , . . ,
k
(8.2.5)
Sk == -Ь A $ ^и -|--j- . . . -)- ^ AskUSk -j- . . . .(8.2.6)
h
В этом разделе и в разд. 8.3 мы будем считать решение и вещественным.
Если и достаточно мало и выполняется неравенство,
(8.2.2), то можно воспользоваться принципом подчинения. Это позволит
выразить Sk как функцию от и, аппроксимируемую многочленом
Sk = sk(u) = aku2 + bkus+ .... (8.2.7)
Подставляя разложение (8.2.7) в уравнение (8.2.5), мы получаем уравнение
для параметра порядка
и = %ии-]-Аи)и2 + С) ц3 + Остаточный член, (8.2.8)
где
С=?Л(и2Я. (8.2.9)
к
Остаточный член содержит степени и, начиная с четвертой. В практических
приложениях величину остаточного члена необходимо оценивать. Здесь же мы
предполагаем и достаточно малым для того, чтобы остаточным членом можно
было пренебречь. Основные особенности уравнения (8.2.8) продемонстрируем
на нескольких примерах. Запишем уравнение (8.2.8) в виде
и = Хии + / (и) (8,2.10)
и рассмотрим случай, когда
/ (и) = - рц3, (8.2.11)
где р-действительное число, т. е. уравнение (8.2.10) сводится к уравнению
и = %ии - р и3. (8.2.12)
Для тех читателей, кто сведущ в механике, заметим, что (8.2.12)
Качественные макроскопические изменения
267
можно рассматривать как уравнение движения со сверхкритиче-ским
затуханием частицы в силовом поле с потенциалом У:
(8.2.13)
ди
в частном случае, когда
(8-2.14)
Это позволяет наглядно представить, как ведет себя решение и нелинейного
уравнения (8.2.12). Из вида потенциальной кривой V непосредственно
следует, что в зависимости от знака %и могут представиться два совершенно
различных случая. При Яы<;0 решение и = 0 стационарно и устойчиво. При
Яи>0 решение и - 0 существует, но становится неустойчивым. Появляются
новые устойчивые решения
и= ±Y%jр- (8.2.15)
Заметим, что при Яи-<0 они становятся мнимыми и, следовательно, должны
быть исключены для этой ветви Ки.
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed