Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
+ FtV} dwp V-M) -T- > (7-9-25)
* OUi
где первый оператор в правой части задан соотношением
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
261
a u<m+I) означает, что из (7.9.17) следует выбрать только члены
(т + 1)-й степени по и (после замены s на и). Теперь
мы уже знаем
достаточно для того, чтобы выписать окончательный результат. Итак, s (t)
можно представить в виде
ОО
s(()=XC№, (7.9.27)
ft =2
где
Cik)=(-------------Л Y"1 Z П[. . . ]кАР{к~к,), (7.9.28)
w* sAo) *i+- • -+ч=*' "=1
[• . .]ki = d(y(-fL-Aay. (7.9.29)
1 \ dt /(о)
Входящий в (7.9.29) обратный оператор означает интегрирование по
временной переменной, входящей явно во все функции, кроме и (t).
Аналогичным образом проводится анализ стохастических дифференциальных
уравнений на основе исчисления Стратоновича. Единственное отличие
окончательного результата сводится к обычному определению оператора (или
dW).
Глава 8
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КАЧЕСТВЕННЫЕ МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ИЗМЕНЕНИЯ
Эту и следующую главу мы посвящаем основной проблеме синергетики -
качественному макроскопическому изменению сложных систем. Хотя анализ
различных неустойчивостей, возникающих под действием шума, допускает
единый подход, мы из педагогических соображений будем рассматривать
каждый частный случай в отдельности. По той же причине мы начнем с
уравнений, не содержащих флуктуаций (шумов), а соответствующие проблемы с
шумом рассмотрим лишь много позже. Общая философия нашего подхода
изложена в разд. 1.14.
8.1. Бифуркации из узла или фокуса. Основные преобразования
Начнем с рассмотрения простейшего случая: бифуркации решений из узла.
Исходным пунктом наших рассуждений является система нелинейных
дифференциальных уравнений для вектора состояния q (t), а именно
q(0 = tf(q(0, <*)¦ (8.1.1)
Мы предполагаем, что нелинейная функция N (q (t), а) зависит от
управляющего параметра а. Примем следующие допущения.
1. При а = а0 существует не зависящее от времени решение уравнения
(8.1.1)
q0(a0). (8.1.2)
2. При непрерывном изменении начального значения управляющего параметра a
= a0, например при непрерывном переходе к большему значению величины a,
q0 можно продолжить так, чтобы при новом значении управляющего параметра
выполнялось равенство
N (q0 (a), a) = 0. (8.1.3)
Нас будет интересовать устойчивость решения q0 при новом значении
управляющего параметра а, причем особое внимание мы уделим случаю, когда
решение (8.1.2) становится неустойчивым.
Качественные макроскопические изменения
263
Устойчивость мы будем исследовать по линейному приближению, предполагая
что
q(0 = qo(") + w(0- (8.1.4)
Подставляя (8.1.4) в уравнение (8.1.1), получаем пока еще точное (не
приближенное) соотношение
w(t) = N (q0(a) + w{t), а). (8.1.5)
Предположим теперь, что w - малая величина, позволяющая линеаризовать
соотношение (8.1.5). Это означает, что правая часть
соотношения (8.1.5) допускает разложение в ряд по степеням
компонент wi вектора отклонения w. Так как при новом значении
управляющего параметра выполняется равенство (8.1.3), первый член ряда
обращается в нуль, а второй приводит к уравнению
w (0= У dN (q°(а)' a) wt (Q, (8.1.6)
V dqt
Что же касается всех членов более высокого порядка, то ими мы, как уже
говорилось, пренебрегли. Уравнение (8.1.6) можно записать в общем виде
как уравнение
w(0=L(a)w(0, (8.1.7)
где матрица L зависит только от управляющего параметра а, но не от
времени t. Из разд. 2.6 известно, что решения уравнения
(8.1.7) представимы в виде
w{k) (t) = ехр (kkt) \{к). (8.1.8)
Если собственные значения Я* (а) матрицы L (а) не вырождены, то векторы
\(к) не зависят от времени. В случае же вырожденных значений Kk (а)
векторы \(к) могут зависеть от степеней t.
Для простоты мы будем считать в дальнейшем, что векторы v(k) не зависят
от времени. Наше предположение заведомо выполняется, например, в том
случае, если все собственные значения Я* различны, т. е. не вырождены.
Так как векторы \{к) образуют полную систему в векторном пространстве
решений q, мы можем представить решение q, которое требуется найти, в
виде суперпозиции векторов \{к) . Следовательно, самое общее решение
представимо в виде
q (t, a) = q0(a)+ Z^(0V<A)> (8.1.9)
k
wTn
где коэффициенты \к (t) - пока неизвестные переменные, зави-
сящие от времени. Прежде всего определим \k. Подставим для
264
Глава 8
этого линейную комбинацию (8.1.9) базисных векторов \{к) с
неопределенными коэффициентами в уравнение (8.1.1):
Zl(t vW=N(q0(a)+ а\ (8.1.10)
k \ к_____________/
W (t)
Чтобы представить решение в явном виде, функцию N можно разложить в ряд
по степеням W и ограничиться лишь первыми членами. Из дальнейшего станет
ясно, как действовать в общем случае, в котором приходится рассматривать
многочлены относительно W сколь угодно высокого порядка. Итак, разложим
функцию N в ряд:
N (q0 (а) + W, а) = N (q0 (а), а) + LW + N{2): W : W +
\ 3
+ N(3): W: W: W+ . . . , (8.1.11)
4
где первый член обращается в нуль по условию (8.1.3)
N (q0(a), а) = 0. (8.1.12)
