Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Полагая
(8.8.23)
где у-постоянная, получаем
y(X-ibo/n) - byn+1 = 0, Х = Хи. Уравнение (8.8.24) допускает решения
У о - О
(8.8.25)
(8.8.24)
и
г/о = (X-ш1п)1Ь = Х0е'^% или после извлечения корня п-й степени
(8.8.26)
г/0 = ехр (2шт/п) \/ Х0 е'^° п,
(8.8.27)
и = Хии - Ьи3е ш + ш5 + du | и |4 + . . . , где возмущающие члены порядка
и5 или выше. Полагая
" _ 2" /Л
ttiit'Z / j.\
и = е 'у (О,
(8.8.29)
(8.8.28)
получаем
292
Глава 8
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (8.5.1), мы видим, что
дальнейший анализ уравнения (8.8.30) аналогичен проведенному в разд. 8.5.
Итак, произведем преобразование
У = Уо + Ц, (8.8.31)
где г/0 удовлетворяет соотношению
{К - г со/2) - Ьу2о = 0. (8.8.32)
Довести анализ до конца мы предоставляем читателю.
Перейдем теперь к другому примеру, показывающему, что в некоторых случаях
априори далеко не очевидно, какие члены можно рассматривать как
возмущения. Иногда встречаются бифуркации
такого типа, что в зависимости от того, какое решение выделено,
малыми считаются различные группы членов. Приведем в качестве примера
уравнение
и = %ии - Ъи3 (е~ш + еш), (8.8.33)
где Ки и b по предположению вещественны. В низшем приближении мы можем
выбрать в качестве решения
и=еЦа2)'у (8.8.34)
или
и = е~Иа>2иу. (8.8.35)
В зависимости от того, какое из решений мы выберем, уравнение
(8.8.33) переходит в уравнение
У = (К ± tco/2) г/-6р3(1+е±1'ф) (8.8.36)
(с соответствующими знаками). Кроме того, выполняется допол-
нительное уравнение
Ф = 2со. (8.8.37)
Уравнения (8.8.36), (8.8.37) того же типа, что и подробно
рассмот-
ренные нами уравнения (8.5.3), (8.5.4) (г теперь - комплексная величина).
Следовательно, производя соответствующие преобразования масштаба, мы
можем в явном виде показать, что члены, содержащие ехр (+ iф), допустимо
считать малыми возмущениями. Итак, уравнение (8.8.33) допускает два
эквивалентных решения
(8.8.34), (8.8.35) с постоянной у, на которую накладываются колебания с
малой амплитудой и частотами т-со/2. В физике приближение, в котором
членом ехр (+ г'ф), где ф=2at, пренебрегают по сравнению с единицей,
называется приближением вращающейся волны.
Качественные макроскопические изменения
293
8.8.4. Бифуркация в тор
В разд. 8.8.1 мы рассмотрели случай, когда Я,2, т. е. собственное
значение с наибольшей вещественной частью, вещественно. Предположим
теперь, что это собственное значение комплексно:
А,2 = А4 + 1(о2, К>0. (8.8.38)
Относительно остальных собственных значений предположим, как и прежде,
что
Re {**} < С<0, k = 3, 4, . . . . (8.8.39)
Принцип подчинения позволяет свести изучение интересующего нас случая к
уравнению для параметра порядка - только для и. В качестве первого
подготовительного шага рассмотрим уравнение для параметра порядка вида
и=(Л," + ш2)ы - bu\u.f, (8.8.40)
где коэффициент b для простоты мы будем считать вещественным и не
зависящим от дополнительного фазового угла ср. С уравнением такого типа
мы уже встречались при рассмотрении бифуркации Хопфа (разд. 8.4).
Известно, что его решение представимо в виде
и = геш, (8.8.41)
где г удовлетворяет уравнению
'г=1иГ - Ьг\ (8.8.42)
обладающему при Яц>0 отличным от нуля устойчивым стационарным решением г
= г0. Смысл соответствующего решения станет ясен, если вспомнить, что
решение q полной системы представимо в виде
Q = Чо Ф) и R) ^2 R + Ф) + u (0 v2 it + Ф) + • • • >
(8.8.43)
где многоточие означает амплитуды подчиненных переменных, которые меньше
явно выписанных амплитуд, a v2 и комплексно-сопряженный вектор -
собственные решения уравнения (8.7.7) вида
(8.7.12). Подставляя (8.8.41) в уравнение (8.8.43), получаем
q = q0 + cos (coaO-Re {v2} + sin (ю2г) • Im {v2}. (8.8.44)
Вещественная и мнимая части вектора v2 линейно независимы и соответствуют
двум векторам, движущимся по первоначальному предельному циклу. Решение
(8.8.44) описывает вращательное движение в системе отсчета, образуемой
двумя базисными векторами Re {v2} и Im (v2), т. е. конец единичного
вектора движется по спирали вокруг предельного цикла, в то время как его
начало
294
Глава 8
(и начало системы отсчета) совмещено с концом вектора q0. Если
частоты со2 и (о1^ы = ф = ф1 несоизмеримы, то траектория заполняет весь
тор. Следовательно, в рассматриваемом случае мы имеем простой пример
бифуркации предельного цикла в двумерный тор. В проблемах, представляющих
наибольший практический интерес, уравнение для параметра порядка и имеет
не столь простой вид, как уравнение (8.8.40). Усложнения могут быть
нескольких типов. В частности, уравнение для параметра порядка может
содержать дополнительные члены, вводящие зависимость коэффициента b от
фх. Простым примером возникновения такой зависимости может служить
уравнение
и = (>." + ш2) и-Ьи | и |2-с ((oj) и | и |2, (8.8.45)
ф 1
где с - функция, 2я-периодическая по фь Подставляя (8.8.41) в уравнение
(8.8.45), преобразуем его в систему уравнений
r = $ur- Ьг3-г3с(фх), (8.8.46)
Ф = со^, (8.8.47)
