Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
решение уравнения (8.4.22), то ф (/) имеет следующий вид:
ф = (^и - b го^ + Фс* (8.4.24)
Это важный результат: он показывает, что частота колебаний зависит от
амплитуды. Таким образом, при бифуркации Хопфа не только возникает новое
значение г, т. е. предельный цикл ненулевого радиуса, но и происходит
сдвиг частот. Полученный нами результат допускает весьма изящное
обобщение, если от уравнения
(8.4.20) мы перейдем к уравнению
и = (Хи + iXu) и + и [f (| и |2) + ig ( | и |2)]. (8.4.25)
частным случаем которого является уравнение (8.4.20).
Предположим, что f и g - вещесгвеннозначные функции своих аргументов и
многочлены. Будем снова искать решение в виде
(8.4.21). Подставляя (8.4.21) в уравнения (8.4.25) и разделяя
вещественную и мнимую части, получаем уравнения
r = Xur-гj (г2), (8.4.26)
ф = Xu-g{r2), (8.4.27)
Уравнение (8.4.26), по существу, встречалось нам раньше (см.
уравнение (8.2.20). После того как решение г (t) уравнения
(8.4.26)
найдено, дополнительное уравнение (8.4.27) легко решается в квадратурах.
274
Глава 8
8.5. Бифуркация Хопфа (продолжение)
Рассмотрим теперь часто встречающийся в практических приложениях случай,
когда уравнение параметра порядка более общее, чем уравнение (8.4.25),
имеет вид
и = (Яи -|- iXu) и - (b ф- ib ) и j и \ -ф / (ц, ц ), (8.5.1)
где %и, Х"и, Ь' и Ь" - вещественные числа.
Относительно функции / мы предполагаем, что она имеет порядок |"3|, но не
содержит член "|"2|, выделенный в уравнении
(8.5.1) особо. Таким образом, специализация общего уравнения
(8.4.8) состоит в предположении, что правая часть уравнения (8.5.1) не
содержит членов, квадратичных или билинейных по и, и*. Полагая
u(t) = r(t)ei,f{t\ (8.5.2)
г > 0, ф (t) - вещественнозначная функция, преобразуем уравнение (8.5.1)
в систему двух уравнений
r = lur - b r3 + g(r, е1ф, ё~1Ч>), (8.5.3)
Ф = Я"-br2 + h\(r, е1ф, е-1ф), (8.5.4)
(О
где
g = Re {е 1ф/}. (8.5.5)
h=lm {e-i71/r. (8.5.6)
Наш выбор функции / требует, чтобы функция g была порядка г3, а функция h
- порядка г2. Функцию g можно представить в виде
? = ?1 + ?г(ф), (8.5.7)
где порядка г4 и не зависит от ф, a g2 удовлетворяет условию
2л
§g2d<f = 0. (8.5.8)
о
Кроме того, мы можем представить функцию h в виде
h = h1Jrh2 (ф), (8.5.9)
где порядка г3, a h2 удовлетворяет условию
2зт
^h2d<f--0. (8.5.10)
о
По предположению Ь'>0. При Х'ис0 решение г = 0 устойчиво, при Яи>0 оно
становится неустойчивым. Положим
г = г0+1 (8.5.11)
Качественные макроскопические изменения
275
и потребуем, чтобы выполнялось равенство
Vo-b'rl=Q. (8.5.12)
Это позволит нам преобразовать уравнение (8.5.3) в уравнение
1= -2Kl-Sb'r0f-b'f + g{r0 + l, <Г?(р). (8.5.13)
Так как нас интересует поведение решений уравнения (8.5.1) вблизи точки
перехода %'и = 0, важное значение приобретает малость Хи. Параметр
малости е позволяет указывать эту характеристику величины Х'и в явном
виде:
К = е2Х. (8.5.14)
Из соотношения (8.5.12) следует, что
г0 = е/-0. (8.5.15)
Соответствующие члены правильного порядка по е в правой и
ле-
вой частях уравнения (8.5.13) мы найдем, произведя масштабные
преобразования амплитуды
S = eri (8.5.16)
и времени
t = т/е2. (8.5.17)
Так как g зависит от г как г3, то
g=e*g. (8.5.18)
Производя масштабные преобразования (8.5.14) - (8.5.18) вели-
чин, входящих в уравнение (8.5.13), получаем после деления на е3
уравнение
dr\
dx
= - 2Xti-Зб'т]2-бУ + ^Кго + Л, 8. 8 1ф)* (8.5.19)
Производя соответствующие масштабные преобразования в уравнении (8.5.4) и
полагая
/z = e2ft, (8.5.20)
преобразуем уравнение (8.5.4) к виду
d(f
dx
= (K-b"e2~r2) + h(r, ei<f, Г?ф). (8.5.21)
Это уравнение показывает, что вместо первоначальной частоты со, входящей
в уравнение (8.5.4), нам теперь придется иметь дело с перенормированной
частотой со, связанной с частотой со соотношением <.
со = со/е2. (8.5.22;
276
Глава 8
Так как е - малая величина, в введенном нами новом масштабе времени т
частота со очень велика. Покажем, что g п h в уравнениях
(8.5.19) и (8.5.21) - малые величины. Исходя из уравнения (8.5.21), мы
можем предпо агать, что в низшем приближении ехр (tcp) " " ехр (ion) -
быстро осциллирующая величина.
Рассмотрим теперь какую-нибудь функцию от такой величины, например g2 или
К2. Так как g2 и h - функции от ехр (нр), каждая из них представима в
виде
Е сте{таШ\ (8.5.23)
т ФО
Предположим, что g и h - малые величины. Тогда разложение
в ряд теории возмущений мы можем производить так же, как в
квазипериодическом случае, рассмотренном в гл. 6.
Для этого, как было показано, необходимо вычислить неопределенный
интеграл от ряда (8.5.23) по т, равный
_*L У (8.5.24)
ш т
т ^0
Если ряд (8.5.23) сходится абсолютно, то и ряд (8.5.24) сходится
абсолютно, так как
Ст
т
<|ст|. (8.5.25)
Но множитель е2 перед суммой в (8.5.24) может быть сколь угодно малым.
Это означает, что функции g2 и (г2 допустимо считать малыми величинами.
Кроме того, из принятых нами предположений следует, что члены gx и
