Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
и вывести уравнения только для параметров порядка
t(t)~u (t) - вещественнозначная )
' параметры
функция времени, t (8.8.3)
Ф(*) J поРядка-
По принципу подчинения исходная система уравнений (8.7.36), (8.7.40)
сводится к уравнениям
u = luu + g(u, ф), (8.8.4)
ф = <0 + f(u, ф). (8.8.5)
Функции f и g могут быть построены в виде степенных рядов по и
с коэффициентами, 2л-периодическими по ф. Функция g допускает разложение
g = + g3u3 + • • • • (8-8.6)
Каждый коэффициент gj в свою очередь может быть разложен в
сумму постоянной и члена, 2я-периодического по ф, т. е. в виде
gj = Si (Ф) = Si. i + Si. а (ф). (8-8.7)
Качественные макроскопические изменения
289
так что
2 (ф) = 0.
(8.8.8)
о
Функция f допускает разложение
(8.8.9)
где
/у - // (ф) - //,! + //, 2 (ф),
(8.8.10)
/ -Т/ / I 1 \ т/
о
Сосредоточим сначала внимание на частном случае, когда gs = fi = 0, g3=-
&<0.
.1 ^ф/;м(ф)=0.
(8.8.11)
(8.8.12)
Уравнения (8.8.4), (8.8.5) имеют такой же вид, как уравнения, приведенные
в разд. 8.4, но с одним отличием. Полагая
которые отличаются знаком перед квадратным корнем. В случае бифуркации
Хопфа следует выбирать знак "плюс", так как г0 - величина положительная.
В рассматриваемом теперь случае мы выбираем оба знака. Каким бы мы не
выбрали решение и0 - положительным или отрицательным, решения (8.8.4),
(8.8.5) (в предположении, что условие (8.8.12) выполнено) приводят к
уравнениям, с которыми мы уже встречались в разд. 8.4, поэтому
необходимость в их рассмотрении отпадает. Приведем лишь окончательный
результат.
Для этого удобнее всего обратиться к случаю, когда предельный цикл
первоначально лежит в плоскости. Два решения (8.8.15) означают, что из
исходного предельного цикла возникают два новых предельных цикла, один из
которых расположен внутри исходного цикла, а другой - снаружи от него.
Как было показано в разд. 8.7, движение по новым предельным циклам может
происходить со сдвигом по фазе относительно движения по старому
предельному циклу. Кроме того, фаза может накладываться на колебания
стационарного движения, происходящие с перенормированной частотой.
Отклонения от и0 также могут осциллировать с перенормированной частотой
сог. Если предельные циклы лежат не на плоскости,
и - и0 -|- т]
(8.8.13)
и требуя, чтобы выполнялось условие
kuu0-bul= 0,
(8.8.14)
мы находим два решения
(8.8.15)
290
Глава 8
а в пространстве большего числа измерений, то две траектории,
образующиеся из предельного цикла, не обязательно лежат на плоскости:
формированные кривые могут обладать ненулевым кручением.
Рассмотрим теперь случай, аналогичный предыдущему (см. разд. 8.8.1), но
отличающийся тем, что собственное значение Х.2 комплексно:
Мнимая часть со2 может обращаться в нуль, если вещественная часть к'и
остается при этом дважды вырожденным собственным значением. Применив
принцип подчинения, мы снова получим уравнение для параметра порядка.
Предположим, что оно имеет следующий вид:
Для простоты будем считать коэффициент Ь вещественным, хотя это
предположение несущественно. В уравнение (8.8.17) могут входить и другие
дополнительные члены. Предполагается, что они достаточно малы и их можно
рассматривать как возмущение. Будем считать, что наряду с уравнением
(8.8.17) выполняется следующее уравнение для ф:
Покажем, что уравнение (8.8.17) допускает решение, осциллирующее с
половинной частотой, т. е. с периодом, вдвое большим периода обращения по
исходному предельному циклу. Для этого запишем и в виде
где у - комплексная переменная. Подставляя и из (8.8.19) в уравнение
(8.8.17), получаем
Уравнение (8.8.20) допускает при Я"-<0, устойчивое, не зависящее от
времени решение у0 = 0 и кроме него решения
(8.8.21)
Нетрудно убедиться в том, что решения (8.8.21) (при Я">0) устой-
чивы. Тем самым существование устойчивого решения с удвоен-
s. 8.2. Удвоение периода
(8.8.16)
и = (К +"г) и - bu3e l63t
(8.8.17)
ф = со.
(8.8.18)
(8.8.19)
у =(Яцф-ш2 - leo/2) у-by3.
(8.8.20)
Качественные макроскопические изменения
291
ным периодом доказано. Разумеется, в общем случае необходимо учесть
влияние старших членов и показать, что их можно рассматривать как
возмущения.
Покажем теперь, что удвоение периода представляет собой частный случай
генерации субгармоник с частотой со, составляющей (1/л)-ю от частоты
обращения по исходному предельному циклу. Для большей конкретности будем
считать, что уравнение для параметра порядка имеет вид
где пг - целое число. Как показывает анализ по линейному приближению,
решение (8.8.23), где у определяется выражением
(8.8.27), устойчиво, если 7,">0. Хотя мы предполагали, что собственное
значение 7 вещественно и положительно, проведенный нами анализ без труда
обобщается на случай комплексных X и Ь, если вещественная часть X
положительна.
Рассмотрим кратко примеры, в которых опущенные нами остальные члены
допустимо считать возмущениями. Начнем с уравнения
8.8.3. Субгармоники
л 1 П+ 1 Л-Ш
и = ки - Ъи е
(8.8.22)
