Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
где
f1(u) = 0("3), (8.10.12)
f2 (и) = О {и2), (8.10.13)
2Я 2Л
(' . . . Uvl . .dv"U = 0, (8.10.14)
б б
Эти условия нетрудно ослабить, например, потребовав, чтобы К (и) - О (и2)
н f2 (и) = О (и) (см. разд. 8.8.1).
С аналогичными свойствами мы встречались при рассмотрении бифуркации из
предельного цикла. Но продолжим наше рассмотрение. Выберем область,
расположенную несколько выше точки перехода, и предположим, что
Хи = ^0еа (8.10.15)
и
н = е(и0 + г)). (8.10.16)
Величину "о определим из соотношения
ul = K!b, (8.10.17)
так что
K0=±VVfc. (8.10.18)
Соотношение (8.10.18) означает, что от старого тора отщепились
Качественные макроскопические изменения
301
два новых тора, находящиеся от него на среднем расстоянии иа. Вводя
помимо преобразований (8.10.15) и (8.10.16) новый масштаб времени
t = т/е2 (8.10.19)
(используя для этого соотношение (8.10.17)), преобразуем уравнение
(8.10.4) к виду
dt\i<h = - 2Vi - 3bu0rf - br\3 + ("о + ri)3-{u0-\-r\, е) +
+ /Г2(е, и0 + Л, ф)], (8.10.20)
где
е^^о + т), е)=/г1(е(и0 + Л)), (8.10.21)
/г2(е, и0 + ц, ф)=/г2(е(м0 + л), ф)- (8.10.22)
Из предположения (8.10.8) следует, что /гL ~ О (1), поэтому е/гх можно
рассматривать как малое возмущение. Поскольку ho зависит от быстрых
осцилляций ф через масштабное преобразование времени, член /г2 с
формальной точки зрения также можно считать возмущением порядка е.
Заметим, что в рассматриваемом случае квазипериодического движения такого
рода аргумент остается в силе, только если частоты со удовлетворяют
условию КАМ. То же масштабное преобразование переводит уравнение (8.10.5)
в уравнение
dq/dt = co/e2 + ef^(w0 + ri, e) + f^("0 + ri, е, ф), (8.10.23)
где
efi(w + ri, е)= -fi(e("+ii)) (8.10.24)
8
- величина порядка О (е), а
Ммо + т1, е, ф)= ~h (е("0 + ц), ф) (8.10.25)
6
- величина порядка 1, но из-за зависимости от ф она действует как
возмущение порядка е.
На первый взгляд кажется, что с уравнениями (8.10.20), (8.10.23) нам уже
приходилось встречаться в разд. 8.7, 8.8, но такое впечатление неверно.
Считаем своим долгом предупредить читателя о том, что изложенная выше
теория не применима к уравнениям
(8.10.20), (8.10.23) непосредственно. Анализ этих уравнений требует
привлечения дополнительных соображений. Основное различие между
уравнениями (8.10.20), (8.10.23) и уравнениями, приведенными в разд. 8.7,
8.8, состоит в том, что сейчас нас интересует квазипериодическое
движение, а разд. 8.7 и 8.8 посвящены рас-
302
Глава 8
смотрению только периодического движения. Здесь уместно напомнить о
некоторых тонкостях, связанных с теоремой Мозера. Прежде чем мы продолжим
обсуждение нашей проблемы, рассмотрим случай, когда собственное значение
^м+i комплексно. Покажем, что и в этом случае мы приходим к уравнениям
вида (8.10.20),
(8.10.23), поэтому решения этих уравнений можно рассматривать для обоих
случаев одновременно.
8.10.2. Комплексное невырожденное собственное значение пересекает
мнимую ось
Начальные этапы процедуры уже хорошо известны читателю: мы полагаем
^"М+1 = 1'wm+i ' (8.10.26)
1м+1 = и (8.10.27)
и предполагаем, что
Re{^}<C<0, k = M + 2, .... (8.10.28)
Принцип подчинения позволяет свести исходную систему уравнений (8.9.32),
(8.9.34) к двум уравнениям:
и = (hu -f- +i) и g (и, ф), (8.10.29)
Ф = <в + !(м, ф) (8.10.30)
для параметра порядка и и фазового угла ф. Пусть, например,
g(u, ф) = -bu\uf Гг т(и, ф), b = b,Jrib", b'> 0,
(8.10.31)
где функция т (и, ф) пока не определена.
Полагая
u - r(t) ехр [1фм+1 R)], (8.10.32)
преобразуем уравнение (8.10.29) к виду
r = Kur-br3 + Re {exp(-i<pM+1)m(rexp[i<fM+1], ф)}.
(8.10.33)
Введем новый вектор ф, содержащий дополнительную фазу Фм+О
/ Фг Л
$= : . (8.10.34)
V Фм+1 '
Качественные макроскопические изменения
303
Это позволит представить уравнение (8.10.33) в виде
г=ХцГ-br3+g(r, ф) . (8.10.35)
Аналогичным образом получаем из (8.10.29) уравнение Ф.м+1 = "м+1-b"r2+ Im
{ехр ( -йрм+1) гп (г ехр (t'<pM+1), ф) г~2),
fM +1
или в векторном виде-где
dffldt = м + 1,
/ 'f. \
f =
V f М+1 / (r)i \
ю
(8.10.36)
(8.10.37)
(8.10.38)
(8.10.39)
К (c)М + 1
С формальной точки зрения уравнения (8.10.35), (8.10.37) обладают такой
же структурой, как уравнения (8.9.32), (8.9.34) и, следовательно, могут
быть преобразованы в уравнения (8.10.20),
(8.10.23).
К уравнениям (8.10.20), (8.10.23) масштабные преобразования применимы
именно так, как о том говорилось в разд. 8.10.1. Нетрудно сформулировать
условия, которым должны удовлетворять g и f (и, следовательно, m (а,
(р)), аналогичные условиям (8.10.7)-(8.10.14). Масштабные преобразования
позволят нам в явном виде указать порядок малости возмущающих членов и
представить уравнения
(8.10.35), (8.10.37) в виде
ti = - Vn + eg(eri, ф),
(8.10.40)
(8.10.41)
Ф = юы +eh (ет], ф).
Функции g и h 2л-периодичны по ф.
Чтобы применить теорему Мозера, будем рассуждать так же, как в разд. 8.5.
Положим - Хи = Хи (величину %и, стоящую в правой части этого равенства,
