Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
аттрактора лежат в некоторой области q-npo-
х) В приведенном нами почти тривиальном примере отчетливо виден еще один
важный аспект: применение понятия "общности" в физике (и других
естественных науках) требует осторожности. Дело в том, что из-за
симметрии, законов сохранения или по каким-нибудь другим причинам явления
могут соответствовать "необщим" решениям (как в случае закона Кулона).
308
Глава 8
странства. Траектории, проходящие вне этой области, но в ее достаточно
малой окрестности, притягиваются к аттрактору. Траектории, лежащие в
самой области, остаются в ней навсегда. "Странность" аттрактора, о
котором идет речь, состоит в том, что он не является ни особой точкой, ни
предельным циклом, ни тором, ни даже многообразием. Ясно, что при таком
определении странного аттрактора может существовать не один аттрактор, а
множество странных аттракторов различного типа. Классификация странных
аттракторов - важная задача, которую предстоит решить в будущем. Один из
вариантов такой классификации (поддержанный, в частности, Рюэлем) основан
на использовании показателей Ляпунова, но он далеко не исчерпывает все
возможности. Для дальнейшего важно отметить, что в своем подходе Рюэль и
Такенс исходят из предположения о близости основных частот к рациональным
числам.
8.11.3. Бифуркации торов.
Квазипериодические движения
До сих пор мы подробно исследовали свойства квазипериодиче-ского движения
и в особенности бифуркации из одного тора в другой, в том числе
бифуркации из двумерных торов в трехмерные. Причина, по которой мы
уделяли столько внимания этому подходу, заключается в том, что, как
экспериментально установлено, возможны переходы от двумерного тора не
только к хаосу, но и к трехмерному тору. В связи с этим естественно
возникает задача выяснить, почему картина Рюэля и Такенса наблюдается в
одних и не наблюдается в других случаях. Из соображений, подробно
изложенных в предыдущем разделе, следует, что бифуркация двумерного тора
в трехмерный возможна, если выполняется условие КАМ, т. е. если отношения
частот аномально хорошо аппроксимируются рациональными числами. Из
сказанного можно сделать вывод о разумности привлечения вероятностных
соображений при оценке возможности бифуркации двумерного тора в
трехмерный у данной реальной системы. Наш подход позволяет решить
"загадку" - ответить на вопрос, почему у некоторых систем наблюдается
бифуркация двумерного тора в трехмерный, несмотря на то, что
соответствующие решения не являются "общими" в смысле Рюэля и Такенса.
Оказалось, что у реальной системы в некоторых интервалах значений
управляющих или каких-то других параметров может осуществляться сценарий
последовательных бифуркаций торов, но по мере увеличения размерности
торов вероятность переходов быстро убывает, картина Ландау-Хопфа
становится неадекватной, и наступает хаос.
Для путей, ведущих к турбулентности, существуют по крайней мере еще два
сценария. Их мы кратко обсудим в следующих разделах.
Качественные макроскопические изменения
309
8.11.4. Путь к хаосу через удвоение периода.
Последовательность Фейгенбаума
В некоторых экспериментах может происходить взаимная синхронизация
осцилляторов, и в результате взаимного затягивания двух частот возникает
одна общая частота. Соответствующий предельный цикл может затем
претерпевать серию бифуркаций удвоения, приводящую в конечном счете к
хаосу. Согласно интерпретации, предложенной автором этой книги, поведение
системы в таких случаях определяется небольшим числом параметров порядка,
и последовательные удвоения периода происходят в пространстве небольшой
размерности соответствующих параметров порядка,, число которых не меньше
трех. Во введении уже говорилось о том, что такие удвоения периода удобно
описывать дискретными отображениями. Но существует и другое описание - с
помощью дифференциальных уравнений, например уравнения Дуффинга
(1.14.14). Разумеется, в автономных системах вынуждающая сила в уравнении
Дуффинга соответствует моде, которая осциллирует с вынуждающей частотой и
управляет двумя другими нелинейно связанными модами (или одним нелинейным
осциллятором). Вопрос о том, может лн бесконечная последовательность
Фейгенбаума осуществляться в реальных системах, остается пока открытым,
поскольку экспериментально наблюдались лишь несколько первых бифуркаций
примерно до п = 6. Наблюдению бифуркаций более высокого порядка
препятствуют шумы. Экспериментально наблюдались также бифуркации высокого
порядка с частотами, отличными от (1/2")-й исходной частоты, например
бифуркации утроения периода.
8.11.5. Путь через перемежаемость
Последний путь к турбулентности, о котором мы хотели бы особо упомянуть,
называется путем через перемежаемость. Его принято связывать с именами
Помо и Манневиля. Суть этого пути состоит в том, что всплески
турбулентности чередуются с участками, на которых устанавливаются
регулярные режимы. Подробное рассмотрение перемежаемости с помощью так
