Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
фиксированной точки пространства, не движущейся более вместе с жидкостью.
Правая часть равенства (9.1.8) и есть тот нелинейный по v член, который
описывает (в локальной системе координат) влияние течения. Уравнения
гидродинамики могут содержать и другие нелинейности. Например, плотность,
входящая в уравнения гидродинамики, может зависеть от температуры, а
температура является одной из компонент вектора состояния q. Заметим, что
в уравнениях гидродинамики скорость v есть также одна из компонент
вектора состояния q:
q, v -q (х, t). (9.1.9)
Как хорошо известно из математики, решения уравнения (9.1.3) однозначны
определены только в том случае, если заданы надлежащим образом выбранные
начальные и граничные условия. В дальнейшем мы будем предполагать, что
уравнения (9.1.3) такого типа, при котором эволюция во времени
определяется начальными условиями, а зависимость от пространственных
координат - граничными условиями. Перечислим несколько наиболее типичных
краевых условий, хотя приводимый нами перечень отнюдь не претендует на
полноту и не избавляет от необходимости решать, каким из условий надлежит
воспользоваться, и не следует ли ввести условия какого-нибудь другого
типа, не входящего в число названных нами. Выбор подходящих граничных
условий, вообще говоря, следует производить, исходя из физических
соображений, хотя общие теоремы, доказанные на уровне современной
математической строгости, могут быть весьма полезны.
Итак, приведем примеры граничных условий.
1) Вектор состояния q должен обращаться в нуль на граничной
поверхности, т. е.
q(s) = 0 (9.1.10)
(s от англ. surface - поверхность). Обобщение условия этого типа см.
ниже.
Пространственные структуры
313
2) Нормальная производная к поверхности должна обращаться в нуль. Это
условие иногда называют условием отсутствия потока через границу:
Л?1(r)- = 0. (9.1.11)
<Эп
3) Еще одно граничное условие носит несколько искусственный характер, но
весьма полезно, в особенности если мы не располагаем другими граничными
условиями,- это периодическое граничное условие
q (x) = q (х+ L). (9.1.12)
Решение задачи с периодическим граничным условием должно быть
периодическим по координатам х, у, z с периодами Lx, Ly, Lz.
4) Если нет граничного условия в конечной части пространства, то, как
правило, от решения требуется, чтобы оно было ограничено на
бесконечности, т. е.
Iql^CC00 при |х|->оо. (9.1.13)
Различные компоненты вектора состояния q могут удовлетворять различным
граничным условиям, например условию, представляющему собой комбинацию
условий (9.1.10), (9.1.11). Если одно граничное условие, служащее
обобщением условия (9.1.10), задается соотношением
q(s)=q(s), (9.1.14)
где q - известная функция, заданная на граничной поверхности (например,
оно может означать, что концентрации каких-то химических веществ
поддерживаются постоянными на границе).
Существуют и другие, менее очевидные граничные условия, например, когда q
(s) - функция на каком-нибудь многообразии, например на сфере или на
торе. Условия такого рода возникают в биологии (эволюция морулы,
бластулы, гаструлы и, возможно, во многих других структурах) и в
астрофизике. В этих случаях мы требуем, чтобы функция q (х) была
однозначно определена на многообразии, т. е. при обходе многообразия,
например по меридиану, мы по возвращении в исходную точку должны
возвращаться к тому значению q (х), которое было в самом начале.
9.2. Общий метод решения
С формальной точки зрения излагаемый нами метод решения уравнений
является непосредственным обобщением тех методов, с которыми мы уже
успели познакомиться в предыдущих разделах. Предположим, что в некотором
диапазоне значений управляющего параметра мы нашли устойчивое решение q0
(х, t):
q0(x, 0 = N(q0(x, t), v, a, x, t).
(9.2.1)
314
Глава 9
Решение q0 допускает продолжение в область значений управляющего
параметра, лежащую за пределами этого диапазона, но при этом теряет
устойчивость по линейному приближению. Чтобы исследовать устойчивость
решений уравнения (9.1.3), мы полагаем
q(x, 0 = q0(х, 0 + w(x, t) (9.2.2)
и подставляем в уравнение (9.1.3). Предположим, что возмущение w
удовлетворяет линеаризованному уравнению
w (х, 0 = ?(Мх, 0. V, а, х, t) w (х, t). (9.2.3)
Правую часть уравнения (9.2.3) иногда называют линеаризацией правой части
уравнения (9.1.3), а оператор L - производной Фреше. Если N - функционал
от qj (представимый в виде интег-• ралов от функций, аргументами которых
служат значения q\ в различных точках пространства), то элементы матрицы
L - функциональные производные от N:
Lij = 8Nil8qj (х, t). (9.2.4)
Чтобы не перегружать изложение, мы не будем входить в подробности
абстрактного, чисто математического определения производной Фреше, а
вместо этого продемонстрируем, как она выводится на нескольких примерах.
В случае уравнения реакции с диффузией (9.1.4) матрица L представима в
виде
L = L(1)+L(2), (9.2.5)
где
т( i)_ dRi Lik ------------------
