Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
называемого логистического отображения см. в моей предыдущей книге [1 ].
Аналогичные пути к хаосу обнаружены не только в жидкостях, но и в других
системах. Например, в лазерах порог генерации соответствует бифуркации
Хопфа, а распад лазерных импульсов в ультракороткие импульсы - бифуркации
предельного цикла в тор. При других условиях периодическое движение по
предельному циклу может сменяться хаотическим режимом или, точнее,
периодическими колебаниями, модулированным хаотическим движением.
Исследование сценариев для широких классов систем и разработка методов
построения общей картины - важная задача будущего.
Глава 9 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУКТУРЫ
Во введении мы познакомились с системами самой различной природы, в
которых в результате самоорганизации возникают пространственные
структуры. Такие структуры могут возникать в сплошных средах, например в
жидкостях или скоплениях биологических клеток. В этой главе мы хотим
показать, как методы, развитые в предыдущих главах, позволяют описывать
образование пространственных структур. Заметим, что пространственные
структуры не обязательно должны быть стационарными: они могут быть
связаны с колебаниями или еще более сложными движениями, зависящими от
времени. На протяжении этой главы мы будем рассматривать непрерывные
среды или проблемы, в которых допустима аппроксимация дискретной среды,
например скопления клеток, той или иной моделью сплошной среды.
9.1. Основные дифференциальные уравнения
Обозначим через х радиус-вектор точки (х, у, г) пространства. Состояние
системы определяется вектором состояния
q(x, i), (9.1.1)
который зависит от точки пространства и времени.
Рассмотрим, например, реакцию, протекающую в химическом реакторе. Вектор
q в этом случае состоит из компонент qx (х, t), q2 (х, t), . . . , где qj
^ rij (х, ^) - концентрация /-го вещества в точке х в момент времени t.
Поскольку в непрерывно распределенных средах обычно приходится учитывать
диффузию, распространение волн или поток, в уравнение должны входить
производные по пространственным координатам. Обозначим их с помощью
оператора "набла":
у = {д!дх, д/ду, д/дг). (9.1.2)
Временную эволюцию системы описывают уравнения вида
q (х, 0 = N(q(x, t), V. О- С9-1-3)
Правая часть этих уравнений нелинейно зависит от q (х, t). Уравнения
(9.1.3) (по крайней мере в общем случае) содержат простран-
Пространственные структуры
311
ственные производные. Влияние внешней среды описывается управляющим
параметром. В пространственно неоднородных средах правые части уравнений
(9.1.3) могут явно зависеть от радиус-вектора х и, кроме того, от
времени. Явную зависимость правых частей от времени следует включать даже
в случае стационарного процесса, если система подвержена действию
внутренних или внешних флуктуаций.
С математической точки зрения уравнения (9.1.3) представляют собой
систему нерасцепляющихся нелинейных стохастических дифференциальных
уравнений в частных производных. Разумеется, такие уравнения охватывают
необычайно широкий класс процессов, и нас будут интересовать такие
ситуации, в которых описываемая ими система резко изменяет свои
макроскопические свойства, приобретая какой-то новый качественный элемент
или утрачивая существовавший ранее. Приведем несколько примеров систем,
описываемых уравнениями (9.1.3). В химии находят широкое применение
уравнения "реакций с диффузией" вида
q (х, t) = R (q (х, t), х, t) -fDAq (х, t). (9.1.4)
Первый член (R) правой части описывает реакции между химическими
веществами. В общем случае R - многочлен относительно q или сумма
отношений многочленов (например, если в уравнения входит член Михаэлиса-
Ментен (см. [1]). В однородных средах коэффициенты при отдельных степенях
q могут зависеть от пространственных координат х, и, если управляющие
параметры изменяются со временем, правая часть R также может зависеть от
времени t. Однако в большинстве случаев коэффициенты при степенях q
вполне допустимо считать не зависящими от пространственных переменных и
времени. Во втором члене правой части уравнения (9.1.4)
V2= А = + (9.1.5)
дх2 ду'* дг2
- оператор Лапласа, описывающий диффузию, D - матрица диффузии
( Dl 0 Л
D-
(9.1.6)
О DN J
Она учитывает, что различные вещества могут диффундировать с различными
постоянными диффузии.
Другой широкий класс нелинейных уравнений вида (9.1.3) встречается в
гидродинамике. Уравнения гидродинамики содержат нелинейные члены, чаще
всего учитывающие течение жидкости. Возникают нелинейные члены при
описании течения в локальных
312
Глава 9
ординатах. К такому описанию мы приходим, преобразуя скорость частицы из
системы координат, связанной с частицами жидкости, в локальную систему
координат, связанную с пространством. Если х (t) - радиус-вектор частицы
и
v== х, (9.1.7)
то указанное преобразование осуществляется по формуле
dv(x(t),t) dv.Vx + _to +_dv_Vz+*L. (9.1.8)
dt дх ду дг dt
Аргумент х в правой части равенства (9.1.8) означает радиус-вектор
