Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(9.2.6)
dqk q = Чо - обычная производная,
L(2, = ZM. (9.2.7)
Производимые нами сейчас вычисления - еще один пример
линеаризации уравнения (9.2.3). Рассмотрим член, учитывающий
тече-
ние (такой член может входить в N):
<7/(х)-- &(х). (9.2.8)
дхк
Производя подстановку (9.2.2), преобразуем его к виду
[<7о, / (х) + (х)] [ft, / (х) + wi (х)]. (9.2.9)
dxk
Раскрывая скобки и удерживая только члены, линейные по Wj, получаем
Яо, / (х) Щ (х) + ш/ (х) <7о,((х). (9.2.10)
OXk OXk
Г1 ространственные структуры
315
Рассмотрим решения уравнения (9.2.3) более подробно. Так как L зависит от
q0, нам необходимо всякий раз указывать, о каком векторе q0 идет речь. Мы
начинаем с постоянного, т. е. не зависящего от пространственных
переменных и времени, вектора q0. Возвращаясь к примеру с уравнениями
типа "реакция с диффузией", напомним, что матрица L допускает в этом
случае разложение (9.2.5), где L(l) (см. (9.2.6)) - постоянная матрица, а
матрица L<2) определяется выражением (9.2.7).
Чтобы решить уравнение
Lw = [L(1) + DA]w = w, (9.2.11)
произведем^разделение переменных
w(x, 0 = w1(07ft(x). (9.2.12)
Если предположить, что Xfc (х) удовлетворяют уравнению
&%k=-h - %k (9.2.13)
(и заданным граничным условиям), то уравнение
w = L (V, a) w (9.2.14)
подстановкой (9.2.12) преобразуется к виду
wx = [L(1)-DX'k] wx. (9.2.15)
Векторное уравнение (9.2.15) представляет собой систему линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из разд. 2.6 мы
знаем, что решение такого векторного уравнения представимо в виде
Wi(0 = е?"*Ч(х, 0. (9.2.16)
где векторы v* не зависят от времени, если характеристические
показатели не вырождены. При вырожденных А* векторы vk могут содержать
конечное число различных степеней t. При некоторых геометриях решения
уравнения (9.2.13) хорошо известны. Например, в прямоугольной геометрии
они имеют вид плоских или стоячих волн, в сферической геометрии - функций
Бесселя, умноженных на сферические гармоники.
Рассмотрим случай, когда вектор q0 не зависит от пространственных
переменных, но является периодической или квазипериодической функцией
времени. Ограничимся уравнениями реакции с диффузией. Матрица L(l)
зависит от времени так же, как q0. Подстановка (9.2.12) по-прежнему
остается в силе. Требуется найти решения уравнений (9.2.15). Такие
уравнения были подробно рассмотрены в гл. 2 и 3.
Перейдем к классу задач, в которых вектор q0 зависит от пространственных
координат х. Получить аналитические пространст-
'316
Глава 9
венно неоднородные решения уравнения (9.2.3) удается лишь в исключительно
редких случаях. Обычно приходится довольствоваться приближенными
решениями, вычисляемыми на ЭВМ. Пока численными методами не удалось
получить сколько-нибудь значительных результатов, но, по мнению автора,
вычислительный подход остается весьма перспективным, поскольку проблему
получения пространственно неоднородных решений уравнения (9.2.3)
невозможно обойти или преодолеть с помощью того или иного аналитического
трюка, например с помощью специального варианта теории сингулярностей.
Несмотря на то что проблема получения решений, зависящих от
пространственных переменных в общем случае остается открытой, существуют
более узкие классы задач, в рамках которых можно высказать общие
утверждения.
Пусть q0 (х) - вектор, периодический по х с периодами
(аъ а2, а3). (9.2.17)
Если N не зависит от х, то L (х) обладает такой же периодичностью по х,
как и q0 (х). Полагая
w = ektv (х), (9.2.18)
преобразуем уравнение (9.2.14) в следующее:
L(q0(x), у, ") v (х) = (х). (9.2.19)
Так как матрица L (х) периодична по каждой компоненте вектора х, мы можем
воспользоваться результатами разд. 2.7. Если граничное условие требует
ограниченности вектора v (х) при | х J -оо, то решение v в общем случае
представимо в виде
v (х) = eik xz (х), (9.2.20)
где к - вещественный вектор, а вектор г периодичен по х с периодами
(9.2.17). В случае других граничных условий в конечных геометриях решение
(9.2.20) при соответствующих граничных условиях может порождать стоячие
волны. Предполагается, что граничные условия согласуются с условием
периодичности матрицы L (х) по х с периодами (9.2.17).
9.3. Анализ бифуркаций для конечных геометрий
Покажем теперь, как решать уравнения типа (9.1.3). Исследуем бифуркацию
из узла или фокуса, устойчивых в некотором интервале значений
управляющего параметра а и теряющих устойчивость, когда а
превышает критический порог ас. Пусть
q0(x) (9.3.1)
- соответствующее старое решение. Мы предполагаем, что решения
линеаризованных уравнений (9.2.3) представимы в виде
w*(x, ^) = ЛЧ*(х). (9.3.2)
Пространственные структуры
317
Как известно, при рассмотрении граничных условий не на бесконечности, а в
конечной части пространства, характеристические показатели (по крайней
мере в стандартных задачах) и индекс k допустимо считать дискретными.
Разложим решение уравнения
(9.1.3), которое требуется найти, в уже хорошо знакомую нам суперпозицию
