Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
не следует путать с величиной Хи, входящей в уравнение (8.10.4)) и
подвергнем %и тождественному преобразованию
К -К-D D (8.10.42)
304
Глава 8
Аналогичным образом преобразуем <иц:
(оц = (оц - А + А. (8.10.43)
0)г
Соотношения (8.10.42) (8.10.43) позволяют записать уравнения
(8.10.40), (8.10.41) в таком виде, который имеют уравнения в теореме
Мозера. Отложим пока вопрос о том, выполняются ли условия этой теоремы в
рассматриваемом нами случае, и будем считать, что все условия выполнены.
Приняв такое предположение, мы получаем возможность воспользоваться
процедурой, описанной в разд. 8.5 (после формул (8.5.36), (8.5.37)). В
частности, мы можем, по крайней мере в принципе, вычислить D и А так, что
будут выполняться соотношения
K = K-D(K, е), (8.10.44)
юг = (оц - А (Яг, юг, е). (8.10.45)
Кроме того, по аналогии с процедурой, изложенной после формулы
(8.5.45), мы можем построить стационарные и переходные решения уравнений
(8.10.40), (8.10.41). Так, в окрестности претерпевающего бифуркацию тора
переходные решения имеют вид
Ф = <ort + eu (e)rt, е), (8.10.46)
т) = %0ехр(У) + еи(а>ЛС s) + s V (<art, е)х0ехр(У), ?1Л<0,
(8.10.47)
где и, v и V - 2л-периодические функции по каждой компоненте вектора (or
t. Стационарные решения имеют вид
Ф - (o,t + eu (со/, е), (8.10.48)
x\ = ?u((ort, е). (8.10.49)
Заключительную часть этого раздела мы посвятим выяснению того,
при каких обстоятельствах выполняются условия теоремы Мозера и, в
частности, в каких случаях частоты ыг удовлетворяют условию КАМ *).
Прежде всего выясним, при каких предположениях
х) С чисто математической точки зрения мы требуем, чтобы функции g и h в
уравнениях (8.10.40), (8.10.41) были аналитическими по т| и <р. Следует
заметить, что введенный в гл. 7 принцип подчинения отнюдь не гарантирует
такой аналитичности, даже если правые части исходных уравнений (т. е.
уравнений, взятых в таком виде, какой они имели до применения принципа
подчинения) содержали только функции, аналитические по т| и ф.
Следовательно, необходимо либо произвести сглаживание (см. разд. 7.5),
либо ввести уравнения (8.10.40), (8.10.41) с помощью модели
(правдоподобной с точки зрения физика или инженера), либо принять более
ограничительные предположения относительно исходных уравнений, которые бы
позволили более строго сформулировать принцип подчинения (такой подход
привлекателен для математика); Еще одна возможность заключается в
ослаблении исходных предположений теоремы Мозера (в некоторых случаях,
например, если задача обладает определенной симметрией, условия теоремы
Мозера действительно удается ослабить).
Качественные макроскопические изменения
305
мы вывели уравнения (8.10.29), (8.10.30). Если мы используем эти
уравнения или уравнения (8.10.40), (8.10.41) как модель, то необходимость
в дополнительных предположениях относительно соы отпадает. В этом случае
мы можем получить бифуркацию из тора, если при данных Хи и (c)и нам удастся
найтн такие Хг и (c)г, при которых выполняются соотношения (8.10.44),
(8.10.45) и удовлетворяет условию КАМ. С другой стороны, если мы вывели
уравнения (8.10.40), (8.10.41) из исходных автономных уравнений (8.9.1),
то нам необходимо учитывать те предположения, которые были приняты при
выводе. Основное предположение было сделано относительно структуры
функций (8.9.13), чтобы обеспечить квазипериодичность векторов v*. Из
него, в частности, следовало, что частоты аз1; со.,, ... , сом
удовлетворяют условию КАМ.
Перед нами возникает весьма важная проблема: можно ли проверить,
удовлетворяют ли частоты сог и соы условию КАМ? Если такая проверка
возможна, то числа со/ (за исключением каких-нибудь частных случаев) мы
могли бы определять с абсолютной точностью. К сожалению, интересующая нас
проблема неразрешима, и дальнейшее обсуждение зависит от подхода - от
того, будем ли мы рассматривать ее с позиции математика, физика или
химика.
Математик избрал бы следующий план действий. Для того чтобы проверить,
реализуется ли "в действительности" бифуркация из одного тора в другой,
необходимо исследовать, с какой вероятностью произвольно заданный набор
частот со удовлетворяет условию КАМ. Математики доказали, что если
постоянная К в неравенстве (6.2.6) достаточно мала, то условие КАМ
выполняется с большой вероятностью. Следует заметить, однако, что
постоянная К входит в комбинации с множителем е2, в чем нетрудно
убедиться с помощью следующих рассуждений.
Начнем с условия КАМ (6.2.6). При изменении масштаба времени частоты (ог
и переходят соответственно в сол/еа и Лд/е2. Условие КАМ при этом
переходит в неравенство
' iv^V ~t~ ^цАд
V- 1 ц= 1
(11/1Г+1)"1- (8.10.50)
С математической точки зрения мы приходим к заключению, что вероятность
найти набор частот, удовлетворяющий условию (8.10.50), очень велика, или
что бифуркация из одного тора в другой сосредоточена в пространстве
частот на множестве ненулевой меры.
С физической точки зрения весьма сомнительно, чтобы природа проводила
