Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
резкое различие между частотами (c), удовлетворяющими условию КАМ, и
частотами, не удовлетворяющими этому условию. Флуктуации, непрестанно
происходящие на микроскопическом уровне, влияют на реально наблюдаемые
частоты. Следовательно,
306
Глава 8
обсуждение бифуркации из тора в тор без учета флуктуаций не имеет смысла.
Один из возможных подходов к проблеме изложен в следующей главе, пока мы
лишь заметим, что флуктуации (по крайней мере в общем случае) приводят к
расплыванию фазовых углов по всему тору, и установить, выполняется ли
условие КАМ, вообще говоря, весьма трудно. Наблюдаемая картина
соответствует усреднению тем или иным способом по различным частотам.
Не следует, однако, упускать из виду некоторые другие важные случаи. Один
из них - взаимное затягивание частот, о котором шла речь в разд. 8.6.
Если происходит взаимная синхронизация двух осцилляторов, то тор
стягивается в предельный цикл. Флуктуации могут играть заметную роль и в
этом случае.
Наконец, нельзя не упомянуть о том, что, комбинируя методы, изложенные в
разд. 8.5-8.10, мы получаем возможность анализировать и другие явления,
например удвоение периода.
8.11. Иерархии неустойчивостей, сценарии и пути к турбулентности
Как было показано во введении, при изменении управляющего параметра
система может, последовательно теряя устойчивость, переходить из одного
состояния в другое. Структуры, возникающие после того, как предыдущее
состояние становится неустойчивым, могут быть различного типа. Если мы
ограничимся только временными структурами, то речь может идти о
стационарном состоянии, периодическом движении, квазипериодическом
движении, хаосе и различных переходах между этими состояниями в точках,
где происходит потеря устойчивости. Такие переходы приводят, например, к
затягиванию или захвату частоты, удвоению периода (генерации субгармоники
с вдвое меньшей частотой). Весьма важен вопрос о том, какая
последовательность переходов характерна для той или иной конкретной
системы. Такого рода последовательности принято называть путями, в
особенности если они ведут к турбулентности, или хаосу ("путь к
турбулентности"). Теоретическое обсуждение пути обычно называют
сценарием, или картиной.
8.11.1. Картина Ландау-Хопфа
Для некоторых систем, например для жидкостей, характерен следующий путь:
стационарное (пространственно однородное) состояние после бифуркации *)
переходит в другое стационарное (но
1) Хотя в дальнейшем речь пойдет о бифуркациях, имея в виду роль
флуктуаций, правильнее было бы говорить о неравновесных фазовых
переходах. Мы будем придерживаться математического подхода и пренебрегать
флуктуациями.
Качественные макроскопические изменения
307
пространственно неоднородное) состояние. В свою очередь новое состояние
после бифуркации сменяется осциллирующим состоянием, т. е. возникает
предельный цикл (бифуркация Хопфа). После следующей бифуркации вместо
одной возникают две основные частоты колебаний, т. е. предельный цикл
переходит в тор. Ландау высказал гипотезу, что переходы такого рода
продолжаются неограниченно, т. е. система претерпевает бифуркации к торам
все более высокой размерности. После каждой бифуркации набор основных
частот (квазипериодических) колебаний системы пополняется новой частотой
со/. Если же гипотеза верна, то турбулентность соответствует движению по
бесконечномерному тору. Такой сценарий называется картиной Ландау-Хопфа.
8.11.2. Картина Рюэля-Такенса
Совершенно иной сценарий был предложен Рюэлем и Такенсом. Чтобы объяснить
основную идею разработанного ими математического подхода, необходимо
сказать несколько слов о том, как следует понимать слово "общность",
часто используемое в современной математике.
Рассмотрим класс дифференциальных уравнений q = N (q), где N
удовлетворяет определенным условиям дифференцируемости. Нас могут
интересовать такие свойства решений q (t), которые являются правилом, а
не исключением. Такие свойства называются общими (для данного класса
уравнений). Вместо того чтобы пытаться уточнить определение "общего",
поясним его на простом примере из физики. Рассмотрим непрерывные
центральные силы. Если обозначить через г расстояние от центра, то
семейство функций К (г), где К есть непрерывная функция,- общее для
интересующего нас класса сил. С другой стороны, сила, описываемая законом
Кулона К ~ 1 /г2, не является общей. Это - весьма специальный, частный
случай х). Рюэль и Такенс исследовали, как происходят в общем случае
бифуркации торов в торы более высокой размерности.
Проведенный Рюэлем и Такенсом анализ показал, что после того, как
возникает двумерный тор, следующая бифуркация не обязательно должна
приводить к трехмерному тору, т. е. к квази-периодическому движению с
тремя основными частотами. Обычно при бифуркации двумерного тора
возникает аттрактор нового типа, так называемый странный аттрактор.
Описать странный аттрактор можно следующим образом. Все траектории такого
