Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
пространства. Так как мы хотим изучать новые траектории, в которые
переходит при гладкой деформации предельный цикл, построим систему
координат, используя в качестве координатных линий старый предельный цикл
и линии, идущие в трансверсальных к нему направлениях. Мы ожидаем, что
из-за нелинейностей, входящих в уравнение
(8.7.6), новая траектория будет сдвинута по фазе относительно
первоначального предельного цикла и будет находиться от него на некотором
расстоянии (изменяющемся в зависимости от направления). В соответствии с
нашими ожиданиями новое решение q ((), соответствующее деформированному
предельному циклу, мы построим, используя фазовый угол Ф (t) и отклонения
? (t) от первоначального предельного цикла. Итак, пусть
Ч(0 = Чо(* + Ф(0)+ Z'h(t)vk(t + 0(t)). (8.7.16)
k
w
Штрих у знака суммы означает, что из нее необходимо исключить решение
(8.7.15), т. е. что
кф\. (8.7.17)
Действительно, направление отвечает за фазовый угол Ф (0 и не входит в
число трансверсальных направлений. Член W в уравнении (8.7.16) зависит от
отклонений (t), времени t и фазового
угла Ф (t), т. е.
W = W(|, * + Ф(0)- (8.7.18)
Подставляя в уравнение (8.7.1) вместо q {t) правую часть соотно-
шения (8.7.16), получаем (опуская у q0, q0, v*, v* аргумент t + Ф (t)) !)
Чо + ЧоФ + Z' tkVk + Z'hvk (1 + ф) = N (q0 + W), (8.7.19)
k
x) Точка над буквой означает дифференцирование по всему аргументу (для q
и v - по t -f- Ф (t), для Ф - по t).
286
Глава 8
где правая часть допускает разложение в ряд по степеням вектора W:
N(q0+W) = N(q0) + LW + H(W), (8.7.20)
где свободный член N и матрица L были определены выше, а Н (W) можно
рассматривать как степенной ряд по W, начинающийся с членов второго
порядка:
H(W) = yV<2>: W: W+ . . .. (8.7.21)
Так как W зависит от ? и t + Ф (см. (8.7.18)), ряд (8.7.21) также
можно считать функцией от \ и t + Ф, т. е.
H(W) = H(1, г + Ф)+ ?'?*?fc'W(2):vfc:v*-+ ....
k, k'
(8.7.22)
Воспользуемся теперь тем, что вектор-функция (8.7.2) удовлетворяет
уравнению (8.7.1), и из уравнения (8.7.7) и представления его решений в
виде (8.7.12) получим г
qo<b + Z'?ftVfc+Z'^<D = ZWft+H(E, * + Ф). (8.7.23)
k k k
В разд. 2.5 было показано, что можно построить биортогональное семейство
функций v*, k = 1, 2, . . . (см. 2.5.16)). Умножая обе части уравнения
(8.7.23) на Vj и используя соотношение ортогональности, преобразуем
уравнение (8.7.23) к виду
Ф + Z = (v,H). (8.7.24)
k
Запишем (vxH) подробно:
<щН) = #1= Z>Eft'<ViW(2,:vft:Vft.)+ ¦ . (8.7.25)
k' к' Alkk' <*+ф (0) ~
Аналогичным образом, умножая (8,7.23) на (k = 2, 3, . . .), мы
приходим к уравнениям
L = Ык-Z 'ik'jvkVk') Ф + <У*Н), k, к'ф\, (8.7.26)
где
Hk = Z• Akk'г У + Ф) • • •• (8.7.27)
k , k
Разрешив уравнение (8.7.24) относительно Ф:
ф^ + ГЫОя^+ф)]'1#!^, t+<b)=J(i, t+ Ф),
* (8.7.28)
Качественные макроскопические изменения
287
исключим Ф из уравнений (8.7.26):
5* - ^-*1*- 2 Ф) 1 (0aik" (t~ЬФ)j х
Xtfi(g, ^ + Ф)4- 7Д = +G* (?, ?-(-Ф). (8.7.29)
Напомним, что Я* (fe = 1, 2, . . .) через q0, q0 = vx и
\k зависят
от t + Ф. Исследуем эту зависимость более подробно. Так
как
q0 - гладкая периодическая функция, ее можно разложить в ряд Фурье
q"(0= Zcmeim"'. (8.7.30)
m
где
со = 2 п/Т. (8.7.31)
Аналогичным образом мы можем разложить в ряд Фурье v*:
M0=ldme^. (8.7.32)
m
Принятые нами предположения относительно Hk позволяют представить эти
функции в виде рядов Фурье по переменной t + Ф:
ЙкЦ + Ф) = ? С<?Ут0) ('+Ф) • (8.7.33)
m
Чтобы воспользоваться приведенными выше теоремами (в частности, теми, о
которых шла речь в разд. 6.2), введем новую переменную
ф (0 = <" [^ 4- ф (01- (8.7.34)
Дифференцируя (8.7.34) по времени, получаем
Ф (t) = со + соФ. (8.7.35)
Подставляя вместо Ф правую часть уравнения (8.7.28), преобразуем
уравнение (8.7.35) к виду
Ф = " + /(?, ф), (8.7.36)
где
/(?, ф) = (r)/(?, ф(r)-1). (8.7.37)
Аналогичным образом из уравнения (8.7.29) следует, что
ik(t) = hlk(t)+gka, Ф), (8.7.38)
где
gk(t Ф) = 6*(Е, ф(r)-1)- (8.7-39)
288
Глава 8
Заметим, что f и gk - 2я-периодические функции по ф. Уравнения
(8.7.38) удобнее записать в векторном виде:
1 = Al + G(l, ф). (8.7.40)
Уравнения (8.7.36) и (8.7.40) - точные. Именно они и составляют
окончательный результат этого раздела. Перейдем к рассмотрению частных
случаев.
8.8. Бифуркация из предельного цикла: частные случаи
8.8.1. Бифуркация в два предельных цикла
Вспомним, что в обозначениях, которых мы придерживаемся теперь, = 0.
Предположим, что остальные собственные значения перенумерованы в таком
порядке, при котором индекс 2 получает собственное значение с наибольшей
вещественной частью. Будем считать собственное значение Я2 вещественным и
невырожденным:
Я2-вещественное неотрицательное число. (8.8.1)
Пусть, кроме того,
Re|A*}<C<0, k = 3, 4......................... (8.8.2)
При достаточно малых ? мы можем воспользоваться принципом подчинения (гл.
7), позволяющим исключить все подчиненные переменные с k - 3, 4, . . . ,
