Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 103

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 152 >> Следующая

dqo/дФ; = w/, 1=1, 2, . . . , М, (8.9.16)
- решения уравнения (8.9.9). Так как производные в левой части равенств
(8.9.16) квазипериодичны, мы получаем решения в виде
(8.9.13) при Яг = 0. Обозначим все остальные решения через
Wkt k = M +1, .... (8.9.17)
Приступим теперь к построению решений, которые возникают при бифуркации
из старого тора, теряющего устойчивость. Воспользуемся обобщением той
схемы, которую мы применяли в случае бифуркации из предельного цикла.
Примем "самосогласованное" предположение о том, что новый тор или новые
торы расположены вблизи от старого тора. Иначе говоря, векторы, начало
которых лежит на старом, а конец на новом торе, невелики по длине. Вместе
с тем необходимо иметь в виду, что когда происходит бифуркация,
соответствующие точки на старой и на новой траекториях со временем могут
разойтись сколь угодно далеко.
Чтобы учесть оба этих факта, введем следующую систему координат. В
качестве локальных координат на старом торе воспользуемся фазовыми углами
и введем векторы v, направленные из каждой точки старого тора в
соответствующую точку нового тора, возникающего при бифуркации. Локальные
координаты, трансвер-сальные старому тору, задаются вектором (8.9.17).
Такого рода соображения наводят на мысль искать возникающие при
бифуркации решения в следующем виде (штрих у знака суммы означает, что
значения с k = 1, 2, . . . , М исключаются):
q(0 = q"(f, (r))+I'?*v*(f, Ф),
w
где
(8.9.18)
Ф = Ф(0 (8.9.19)
- функция времени, которую требуется определить. Векторы \k - также
функции времени:
v(f, Ф(0). (8.9.20)
298
Глава 8
Подставляя q (t) из (8.9.18) в уравнение (8.9.1), получаем
I k k, I k
= N(qo) + LE'HAv,+ H(W) (8.9.21)
k
(правую часть уравнения мы разложим в ряд по степеням W). Функция Н
определяется разложением вида
Н (W) = : ? S*vfc : ? lk.vk. + ... , (8.9.22)
k kr
где многоточием указаны члены более высокого порядка. Разумеется,
выписать их так же, как мы выписали квадратичный член, не составило бы
особого труда.
Воспользуемся теперь результатами из разд. 2.5, где мы построили систему
векторов v, ортогональных решениям v уравнения (8.9.13). Умножая
уравнение (8.9.21) на
Vi, /=1,2.............Af, (8.9.23)
получаем уравнение для Фг:
ф/ + Tj' Е li (vi ¦ dvj/дФг) Фп = <V;H>, (8.9.24)
1 ~jll' ^
а умножая уравнения (8.9.21) на векторы
V*, k = M +1, . . ., (8.9.25)
- уравнение для Н*:
1* = Klk-Y! Z ?/(укду;/дФг)Фг + <v*H). (8.9.26)
' а jkl'
Вводя матрицу К с элементами
Кц' = 6/г + Z' ljajiv (8.9.27)
и рассматривая Ф и Н как вектор-столбцы, запишем систему уравнений
(8.9.24) в виде
КФ = Н. (8.9.28)
Так как Н/ по предположению - малая величина, матрица К легко обращается,
и мы получаем (см. (8.9.24))
6 = /C-1H = f(|, t, Ф) (8.9.29)
(последний член равенства - определение f). Подставляя вместо Фг,
входящих в уравнение (8.9.26), правые части соответствующих
Качественные макроскопические изменения
299
компонент уравнения (8.9.29), преобразуем уравнение (8.9.26) к виду
ik = hlk + Gk(l, t, Ф). (8.9(30)
Заметим, что аргументы ( и Ф встречаются в правых частях уравнений
(8.9.29), (8.9.30) только в комбинации
со// + со/Ф/ = ф/. (8.9.31)
Введем ф/ в качестве новой переменной. Это позволит записать уравнение
(8.9.29) в виде
Ф/=иу+7/(1, Ф). !. 2, . . ., М, (8,9.32)
где
7/ (1, ф) = со,-7/ (1, 0, {Ф/|соГ1!). (8.9.33)
Уравнения (8.9.30) аналогичным образом приводятся к виду
lk = Klk + gk{l, ф), (8.9.34)
где
gk(l, ф) = 8(|, 0, {ф/юГ1})- (8.9.35)
Функции f и g 2л-периодичны по ф/.
В рамках предположения о представимости решений линеаризованных уравнений
(8.9.9) в виде (8.9.13) уравнения (8.9.32), (8.9.34) обладают достаточной
общностью. При другом подходе мы могли бы "забыть" о том, что уравнения
(8.9.32), (8.9.24) выведены из уравнения (8.9.1), и принять их за
исходные. При f = g = % = 0 уравнения (8.9.32), (8.9.34) описывают
движение по старому тору. Наша задача состоит в том, чтобы найти новые
траектории при f и g, отличные от нуля.
8.10. Бифуркация из тора: частные случаи
8.10.1. Простое вещественное собственное значение становится
положительным
Перенумеруем собственные значения так, чтобы Ям+1 имело наибольшую
вещественную часть. Пусть
^м+13*0> ^м+1 - вещественное число, (8.10.1)
Ие{Я*}<С<0, k = M + 2, . . . (8.10.2)
и пусть
^м+1 = ^и> ?м+1 = ы. (8.10.3)
300
Глава 8
Величина и играет роль параметра порядка, а при k > М + 2 - подчиненные
переменные. Применяя принцип подчинения, мы сводим систему уравнений
(8.9.32), (8.9.34) к уравнениям вида
u=Xau+g(u, <р),
<p = <B + f(", ф). (8.10.4)
Нас будет интересовать случай, когда функция g представима в виде
g{u, ср) = -bu3 + u3h(u, ср), Ь>0, (8.10.5)
где коэффициент h допускает разложение в сумму двух слагаемых
/z = /z1(u) + /z2(", ср), (8.10.6)
обладающих следующими свойствами:
^ (и) = О (и), (8.10.8)
/г2(", ф) = 0(1), (8.10.9)
2Я 231
I ... I cifi . . . dq>Mh2 = 0. (8.10.10)
б о
Кроме того, мы предполагаем, что
f (и, q>) = h(u) + h(u, Ф), (8.10.11)
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed