Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения записаны для фазовых углов ф и вещественных величин |. В разд.
6.3 было показано, что соответствующие уравнения для ф и | могут быть
приведены к простому виду преобразованиями
Ф = ф + еи(ф, е), |(8.5.45)
S = 7 + ev(tf, е) + еУ(ф, г)%. (8,5.46)
В разд. 6.3 был изложен и итерационный метод, позволяющий построить u, v
и V. В частности, функции u, v и V были 2л-перио-дическими по ф.
Уравнения для ф и % представимы в виде
ф = (о + 0(7), (8.5.47)
7 = Дл + 0(72) (8.5.48)
и, если ограничиться низшими членами, допускают решения
Ф = оФ, [(8.5.49)
7 = eAi7". (8.5.50)
Подставляя функции (8.5.49), (8.5.50) в уравнения (8,5.45), (8.5.46),
находим, как зависят от времени Ф и
Ф - <dt + eu((ot, е), (8 5.51)
1 - Ль + ev №/, в) + eV (tat, ty/'to- (8.5.52)
Нам осталось сделать последний шаг и специализировать полу ченный общий
результат, приспособив его к интересующему нас частному случаю -
уравнениям (8.5.34), (8.5.35). Переходя к новым обозначениям
1-^Л, (8.5.53)
Л-*А,, (8.5.54)
Ф->Ф, (8.5.55)
(о->о)г, (8.5.56)
280
Глава 8
запишем временные зависимости (8.5.51) и (8.5.52) в виде
Ф = art + ги (art, е), (8.5.57)
т] = х0 ехр (У) + ей (сог?, е)+ eV (сог?, е)х0ехр(У), *."-<0.
(8.5.58)
Формулы (8.5.57), (8.5.58) показывают, как ведет себя решение вблизи
точки бифуркации. Так, из соотношения (8.5.58) следует, что решение
устойчиво и релаксирует к стационарному состоянию
Г1 = ец(сог/, е). (8.5.59)
Мы видим, в частности, что колебания происходят с перенормированной
частотой со,-. Изложенный выше подход выходит далеко за рамки
традиционных подходов, так как позволяет не только находить
претерпевающее бифуркацию решение в стационарном состоянии, но и получать
важные сведения о поведении такого решения вблизи стационарного
состояния, т. е. определять релаксационные свойства. Вряд ли нужно
говорить, сколь это необходимо, если мы собираемся исследовать
устойчивость и, кроме того, учесть влияние флуктуации (о чем пойдет речь
в дальнейшем).
8.6. Взаимная синхронизация двух осцилляторов
В качестве примера рассмотрим бифуркацию из фокуса, при которой у двух
комплексных собственных значений вещественные части становятся
положительными. В этом случае мы имеем два уравнения для двух комплексных
параметров порядка иг и ы2. Для демонстрации основных идей эти уравнения
удобно привести к виду
= (^-i1 сох) -dyii | ti\ | + Ci"21 u-i1 * (8.6.1)
^2= (^2 i(r)a) ^2-b<iUi | w21 ~f" \ u-i I • (8.6.2)
Их решения будем искать в виде
и/= г/ехр [мру (*)], /= 1, 2. 1,8.6.3)
В дальнейшем нам понадобится разложение
Ф,- = со'-/ +ф/(0, /=1,2, (8.6.4)
где постоянные частоты со,- таковы, что фу, / = 1,2, остаются
ограниченными при любых t. Мы будем называть со/ перенормированными
частотами. Подставляя (8.6.3), например, в уравнение (8.6.1), получаем
уравнение
r1 + i(f1r1 = (k'1 + m1)r1-b1r3i+ су! ехр [?(ф2-ф0], (8.6.5)
Качественные макроскопические изменения
281
которое эквивалентно системе двух уравнении-для вещественной и мнимой
частей:
ri = Vi - Vi+c1T2Re{exp[t(92 - ф^]}, (8.6.6)
<Pi = Im {ехр [i (ф2-Ф1)]} • (8.6.7)
Аналогичные уравнения получаются для г2, Ф2. Пусть сх - малая величина.
Тогда в первом приближении соответствующим членом в уравнении (8.6.6)
можно пренебречь, что дает хорошее приближение к стационарному решению
rlf 0:
,0 = VVV (8-6.8)
г 1
Аналогичным образом мы получаем не зависящее от времени решение г2,0.
Рассмотрим теперь более подробно уравнение (8.6.7) и аналогичное
уравнение для ср2 в предположении, что гг - гъ 0 (см.
(8.6.8)) и л2 = гъ 0. Чтобы нам было удобнее анализировать уравнения
Ф1 = ^1 + ex (ri/ri)0 sin (ф2 - фх), (8.6.9)
ф2 = со2 - с2 (г]/г2)0 sin (ф2 -фх), (8.6.10)
введем новую переменную
¦ щ = ф2_ф1 (8.6.11)
и разность частот
Й = 0)2 - 05!. (8.6.12)
Вычитая уравнение (8.6.9) из уравнения (8.6.10), получаем
? = Й -ctsin?, (8.6.13)
где
a = с2 (гУг2)0 + сх (ri/ri)о- (8.6.14)
Уравнение (8.6.13) легко решается методом разделения переменных:
t= f -------------, (8.6.15)
J Q -asinT
'Го
где T1-,, - начальное значение ? при t = 0. Интеграл в правой части
равенства (8.6.15) ведет себя по-разному в зависимости от величины а и й.
При
| а |<| й | (8.6.16)
подынтегральное выражение в (8.6.15) заведомо не расходится.
282
Глава 8
В частности, мы можем разлагать тогда знаменатель в ряд по степеням а.
Интеграл в этом случае можно представить в виде
j" • ¦ ¦ =-('Р - 4%) + Малые пульсации. (8.6.17)
Пренебрегая малыми пульсациями, мы получаем из (8.6.15) соотношение
? -?0 = /Й = /(со2 - coi). (8.6.18)
Из определений (8.6.11), (8.6.12) величин ? и Й и соотношений
(8.6.4), (8.6.18) следует, что
(со2-coi) / + ср2 -ф1 = /(со2 -со^ + Ч^о, (8.6.19)
или
со2-СО] = со2- (Й!- (8.6.20)
Соотношение (8.6.20) означает, что интервал между перенормированными
частотами со', остается таким же, как между частотами со/ до включения
нелинейного взаимодействия. Совершенно другая ситуация возникает, если
выполняется условие
| а [>| й |. (8.6.21)
