Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
принять процесс
Хз
Х\ X Ж2
Амплитуда испускания фотона с поляризацией ji есть
Gpixз,х2;хг)= j D^(xs - x)G(x2 - x)Tv(x)G(x - xi)dAx. (1.126)
Амплитуда взаимодействия Г*,, в принципе, может зависеть и от
поляризации, что мы и отметили индексом v. Как и раньше, не должна
зависеть от с другой стороны, это вектор, а единственный вектор, который
мы можем придумать, кроме есть д/дхт. е.
G(x 2 - x)Yv{x)G{x - х\) =
= .0(2, - x)aG(; ~ *'> +ЬЭв(^ ~ X)G(X - s.), (1.127)
дху дху
где а и b - некоторые константы. Кроме того, на взаимодействие мы должны
наложить условие, чтобы избавиться от двух лишних поляризаций, входящих в
D^v ~ 5^v. Поскольку полученное поле должно
56
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
удовлетворять условию Лоренца, то
' nr1 ^
= 0. (1.128)
dG^x 3,x2;xi)
дх311
Gм зависит от хз только через посредство Dпоэтому ее дифференцирование в
(1.128) сводится к дифференцированию D^u. Дифференцирование дает
следующий результат:
dD^(x3-(r))=i [ d4k "ik(x3_x)u v^"a"a
dx,
" (I129)
Но = 0 только для 3-х векторов еА (А = 1, 2, 3), а Ф 0. Чтобы выполнялось
условие Лоренца, этот член должен выпасть при интегрировании в (1.126).
Таким образом, сохранение тока требует такого условия на Г*,, чтобы
поляризация не давала вклада в интеграл (1.126). Вычислим dG^/dxзм и
приравняем ее нулю (D^ =
dGfl(x3,x2;x1) fdD(xs-x) 4
dx,
= 9/iv J dD^3-~^"G(X2 ~ x)YvG{x - X!)d4x =
Зц J uxs^
= J D(xs - x)-^- (G(x2 - x)YvG(x - xi))d4x = 0. (1.130)
Здесь мы воспользовались тем, что dD(x3 - х)/дх%м = -dD(x3 - х)/дх11 и
проинтегрировали по частям. (1.130) выполнится, если
-^-G(x2-x)Ti_1G(x-xi)=0. (1.131)
С/Хц
Мы получили условие на взаимодействие. Подставим (1.127) в (1.131):
(G(x2 - х)Гll{x)G{x - Xi)) = dG(x2 - x) dG{x - x{) ^ ^dG{x2 - x) dG(x -
Ж1)
дхЦ дхp дхЦ dxM
, d2G(x-x 1) d2G{x2 - x) , ,
+aG(x2-x) 7^3 I- b 7^3 G(x-x 1). (1.132)
Поскольку d2G(x)/dx2^ = -m2G - i6(x), если положить a = -b, члены с
массой в (1.132) взаимно уничтожаются, остается
-J^-GT^G = a[G(x2 - xi)(-i)5(xi - х) - G(x2 - хх)(-i)S(x - х2)\,
(УХц
1.7. Взаимодействие бесспиновых частиц с электромагнитным..
57
т. е. равенства нулю мы не получили. С другой стороны, член в правой
части отличен от нуля только при Х\,Х2 = х, т. е. в момент приготовления
источника электрон, не успев никуда распространиться, испустил фотон, нас
же при реальной постановке эксперимента интересует, что с электроном
произошло потом, поэтому вклада в физические величины этот член не дает.
В принципе, мы бы могли его скомпенсировать введением взаимодействия типа
Жз
Х\ Ж2
которое поддерживает точное сохранение тока в момент приготовления
частицы. Однако это дополнительное взаимодействие никогда не войдет в
амплитуды физических процессов. Заряженные частицы, которые мы изучаем в
природе, приготавливаются задолго до эксперимента - так, что фотоны,
испущенные в процессе приготовления, никогда не попадут в детекторы.
Итак, за неимением лучшего мы получили
д_
Соответственно,
Gp(x3, x2',xi) = 7 J D(x3 - x)G(x2 - x)-^-G(x - xi)d4x. (1.134)
Этой амплитуде соответствует график:
Хз
Х\ X Ж2
Рис. 6
58
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Посмотрим, является ли развитая нами теория удовлетворительной со
следующей точки зрения. Рассмотрим область интегрирования в (1.134), где
t\, ^2 < Н- Это соответствует диаграмме:
XI
Х2
Рис. 7
описывающей превращение двух заряженных частиц в фотон, но нам известно,
что заряд-то вроде бы должен сохраняться. Есть и другое формальное
противоречие, не связанное с зарядом. Если есть две одинаковые частицы со
спином нуль, как известно, амплитуда любого процесса с этими частицами
должна быть симметрична относительно их перестановки. Мы же получили явно
антисимметричную амплитуду (см. (1.134)) (относительно перестановки х\
Х2).
Выход из такой ситуации есть, и заключается он в гипотезе, что для
заряженных частиц имеет место вырождение по массе, т. е. для любой
заряженной частицы существует античастица с той же массой, но
противоположного заряда. Такая гипотеза приводит к другой возможности
интерпретации графика на рис. 7: из Х2 движется не частица, а
античастица. Можно считать, что G(x) при t > 0 имеет смысл функции
распространения частицы, при t < 0 - античастицы. Для того, чтобы спасти
сохранение заряда, мы вынуждены приписать античастице противоположный
заряд. Этим самым мы сразу же решаем и проблему с симметрией амплитуды.
Действительно, если t\ < t < ?2, ПРИ замене х\ Х2 мы получим ?2 < t < ti,
т. е. мы получаем диаграмму с распространением античастицы, а не частицы.
Поскольку античастица нетождественна частице, мы не должны требовать
симметрии этой амплитуды. Одновременно мы приходим к выводу, что
амплитуда меняет знак при замене частицы на античастицу. Как мы увидим
ниже, 7 пропорциональна электрическому заряду, так что это еще раз
показывает, что заряд античастицы противоположен по знаку заряду частицы.
1.8. Примеры простейших электромагнитных процессов
