Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (1.104), а в правой части (1.104) мы ничего изменить не можем
без потери релятивистской инвариантности.
Таким образом, вообще говоря, мы пришли в противоречие с калибровочной
инвариантностью, которая как раз и требует, чтобы физических поляризаций
у фотона было всего две. Однако если взаимодействие так устроено, что
фотоны с этими "лишними" поляризациями, так называемые скалярные (е^) и
продольные (effi) фотоны, не рождаются, то все будет согласовано. Иначе
говоря, калибровочная инвариантность в релятивистской теории накладывает
определенные условия на вид взаимодействия, в чем, конечно, нет ничего
удивительного. Мы хорошо знаем это еще из классической теории.
Действительно, рассмотрим уравнения Максвелла
- ток должен сохраняться. Мы видим, что и в классической теории
описание электромагнитного поля возможно только при определенном
ограничении на взаимодействие, а именно: оно должно быть таким, чтобы ток
сохранялся,
(1.107)
з
А=0
UfJb __ .
_Л1'
Из антисимметричности F^v немедленно следует, что
d2F^ dj"
dxydx^ dx^
1.4. Фотоны во "внешнем поле"
43
Вернемся к сравнению функции распространения и функции Грина. Функция
распространения была построена для реальных фотонов, для которых ко =
=Ь|к|, а в функции Грина присутствует интегрирование по всем fco,fci, кз
и к2 ^ 0 т. е. виртуальный фотон не безмассов. Условие Лоренца к^е^ = 0 в
этом случае определяет уже не два независимых вектора, а три, т. е.,
казалось бы, суммирование должно производиться по трем поляризациям.
Сумму по трем поляризациям мы уже сможем записать в релятивистски
инвариантном виде, а именно:
Y1 е1*е" = ~ 9^- (1-109)
А=0
Здесь мы вычли из суммы по всем поляризациям член, соответствующий
поляризации вдоль кц. Таким образом, единственное, как мы можем улучшить
функцию Грина (1.105), это рассмотреть
/Л4 7. p - ikx V U U
(2тг)Ч fc2 + is ^W~9lxv_ ' (1Л10)
а на взаимодействие наложить условие, чтобы член ~ к^ки/к2 не давал
вклада в физически наблюдаемые величины. Как мы убедимся ниже, это
условие полностью аналогично требованию сохранения тока, которое мы имели
в классической теории. Фактически это не есть новое требование, так как в
любом случае для случая реальных фотонов с к2 = 0 взаимодействие не
должно приводить к появлению продольных поляризаций.
Более того, условие, что взаимодействие при к2 ^ 0 не рождает
поляризаций, пропорциональных к^ для реальных фотонов, при к2 = 0
оставляет только две физические поляризации. Действительно, легко видеть,
что
ед3)*43) + ед0)*40) = 9/J.0^0 Р' + члены с
Поляризации, пропорциональные к^,ки, не рождаются благодаря свойствам
взаимодействия, а первый член обращается в ноль для безмассо-вого фотона.
Подводя итоги, можно сказать, что сохранение тока приводит к тому, что
при к2 0, для виртуального фотона, из четырех поляризаций в функции Грина
остаются три, а для реального фотона - только две физические поляризации.
44
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Итак, если ток сохраняется, то можно использовать функцию Грина (1.106) -
сумму по всем четырем поляризациям. Легко также видеть, что справедливо
соотношение, аналогичное (1.102):
D^ix) = DUfl(-x). (1-111)
Этот факт говорит о том, что наряду с процессом
t2 > tl
Х\ Ж2
(возникновение фотона в х\ и уничтожение в х^) D^v описывает также
процесс, идущий как бы обратно во времени, т. е.
t2 < ti
Х2 Х\
и этот процесс можно в силу (1.111) интерпретировать как рождение частицы
в Х2 и распространение в х\, причем эта частица тождественна фотону.
Примерами появления такой ситуации, в частности, являются процессы,
описываемые графиками на стр. 37.
Суммируем полученные результаты. Мы написали волновую функцию фотона
e\e~ikx
Jfi
и функцию Грина
/л4^ -гкх
(2тг)Ч B + ie
Кроме того, нам известны волновая функция нерелятивистской частицы
ад = е--, ,0 = |^
и ее функция Грина
d4p е~грх
G(x) =
(2п)4г р2/2ш - ро - is
1.5. Свободные релятивистские частицы с массой
45
Этого уже достаточно, чтобы построить квантовую электродинамику
нерелятивистских частиц, и она будет эквивалентна обычной квантовой
теории излучения. Но проще строить электродинамику релятивистских частиц,
из которой в пределе можно получить и нерелятивистские результаты. Для
этой цели займемся изучением релятивистских частиц с массой.
1.5 Свободные релятивистские частицы с массой
Покоящаяся свободная частица характеризуется двумя аддитивными
интегралами движения: энергией, равной массе га частицы, и внутренним
моментом количества движения - спином J. Будем все частицы
классифицировать по массе и спину. Нам нужно построить теорию для
свободных частиц с любой массой и спином и движущихся с произвольными
скоростями, т. е. с любым импульсом р.
Чтобы понять, какие особенности теории связаны с релятивизмом, а какие -
со спином, начнем с частиц с J = 0; в природе таких частиц много,
например, 7г-мезоны: 7г_,7г°,7г+ с массой га ~ 140 МэВ.
Следствием классической релятивистской инвариантности является
