Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
соотношение между энергией Е и импульсом р:
Е2 = р2 + т2. (1-112)
Соответственно, квантовомеханическая частица имеет волновую функцию
ВД ~егрг-гЕ\ (1.113)
где Е и р связаны (1.112).
Рассмотрим, какому уравнению удовлетворяет (1.113). Напишем
- v2 + m2^j ад = 0. (1.114)
Подставляя (1.113) в (1.114), получим (1.112), т. е. (1.112)
эквивалент-
но квантовому уравнению (1.114). Если принять в качестве волновой функции
(1.113), а она удовлетворяет (1.114), то при попытке ввести плотность
вероятности р{х) мы встретимся точно с такими же трудностями, как и в
случае электромагнитного поля. Совершенно аналогично
р(х) |Ф(ж)|2, поскольку / \Ч?(х)\2с13х ^ const.
46
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Как и раньше, сохраняется величина удовлетворяющая урав-
нению непрерывности:
д
dt
Ф*(ж)г^Ф(ж)
= <Иуг[Ф*((r))УФ(ж) - Ф(ж)УФ*(ж)]. (1.115)
И единственное, что мы можем принять за плотность вероятности, это
р(х) = ф;(ж)г^ф+(ж), (1.116)
где Ф+ - положительно-частотное решение (1.114), соответствующее Е = уД?
+ ш2. Отрицательно-частотное решение, соответствующее Е = - л/р2 + ш2,
будем обозначать Ф_.
В дальнейшем будем писать = Ф. Как и для фотона, в случае стационарного
состояния Ф(ж) = Ф(т)е~гШ функция р(г) имеет буквальный смысл плотности
вероятности:
р( г) = 2?7| Ф (г) |2.
Аналогичным образом можно ввести и волновую функцию для свободной частицы
Ф(ж) = в/_- , ро = \/р2 + т2 (1.117)
0 - грх
уДРО
и функцию Грина
G(x) = / 7^Г--------------• (1.118)
(В D^(x) в знаменателе перед к2 тоже фактически знак минус, поскольку для
фотона существенны пространственные компоненты а 5ц = S22 = -1-) Как и
раньше,
G{x) = G(-x) (1.119)
и при t > 0 имеем из (1.118)
G(x) = J
d3p
грг-гд/p2+ra2 t
(2тт)32 Е
т. е. вперед во времени распространяются положительные частоты.
1.6. Взаимодействие бесспиновых частиц
47
1.6 Взаимодействие бесспиновых частиц
Как можно описать взаимодействие в релятивистской квантовой теории? У нас
нет потенциала, никаких сил, поскольку эти понятия сугубо
нерелятивистские, более того, поле тоже представлено частицами. Итак, мы
имеем всевозможные частицы, которые характеризуются своими массами и
спинами, и более ничего. Рассмотрим две различные частицы с массами т\ и
m2 без спина, их волновые функции Ф]_, 4*2-Сопоставим функции Грина
первой частицы прямую линию, второй - волнистую, т. е.
J 1 -------------------- уО / \
Ж2 = Gl(X2 -Ж1),
Х =G2(x 4-Жз).
00 4
Допустим, они провзаимодействовали (пока считаем, что больше никаких
частиц не существует). Что может случиться с двумя точечными объектами?
Единственное: в точке х они столкнулись и разлетелись каким-то образом,
как показано на рис. 1.
Рис. 1
Посмотрим, чему может быть равна амплитуда такого взаимодействия.
Амплитуду перехода двух частиц из точек Х\,Х2 в точки жз, х^ с учетом
того, что они встретились в точке ж, можно записать так:
Gi2(x2,x4;x1,x3) =
= J G\{X2 - x)G2(x4 - x)V(x)Gi(x - Xi)G2(x - Xs)d4X, (1.120)
X3
48
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
где V(х) есть некоторая амплитуда взаимодействия. Однако в силу
однородности пространства и времени, она не может зависеть от места и
времени встречи частиц, а следовательно, V(х) = const = Л. Тем самым мы
получили конкретную формулу, содержащую единственную const, и где все
остальное известно.
Интегрирование в (1.120) производится по всем пространственно-временным
точкам х. В области
< t < 12,?4
интерпретация данного процесса очевидна. Однако мы говорили, что в силу
релятивистской инвариантности так ограничивать область интегрирования
нельзя, поскольку наверняка в интеграле есть и другая область, например:
t\ < t < ?3, ?2, ^4-
В этом случае буквальная интерпретация теряет смысл, и картинку
естественно перерисовать так:
t
Рис. 2
Этот график означает, что частица распространялась до точки жив ней в
результате взаимодействия распалась на три частицы. Таким образом, если
мы хотим описать процесс, изображенный на рис. 1, то в силу
релятивистской инвариантности нельзя избежать процессов, аналогичных
приведенному на рис. 2, поскольку в интеграле (1.120) обязательно
существует такая область интегрирования, где процесс обязательно приводит
к несохранению числа частиц. Это утверждение, вытекающее из
1.6. Взаимодействие бессиииовых частиц
49
релятивистской инвариантности теории, находит свое подтверждение в
эксперименте. Это есть то, что непосредственно наблюдается в природе.
Рассмотрим амплитуду процесса с рождением частиц, изображенного на рис.
2, и напишем его амплитуду по сформулированным выше правилам. Получаем
G(x2,x3,x4;x1) =
= j Gi(x2 - x)G2(x3 - x)G2{x4 - x)V(x)Gi(x - x\)dAx (1.121)
Мы можем сразу утверждать, что V(х) = Л. С другой стороны, этот процесс
содержится и в (1.120), и при одинаковых временах формула (1.120) должна
совпадать с (1.121). Сравнивая их, находим, что, т. к. G2{хз - х) = G2(x
- Ж3), значит Л = Л.
Таким образом, предположив существование процесса типа рассеяния (рис.
