Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействие, и его константа, как мы увидим далее, есть 72.
1.9. Диаграммы и амплитуды в импульсном представлении
65
1.9 Диаграммы и амплитуды в импульсном представлении
Начнем, как обычно, с простейшего графика взаимодействия фотона с
электроном:
' Хз
Х\ X ' Ж2
Найдем амплитуду в импульсном представлении, т. е. разложим G^(x3,#2;#i)
в интеграл Фурье:
Gfl(x3,x2-,x1) =
= / di{(2w)4\*k'e~ipixi+ip2x2+*kx3G^(pi,р2, к). (1.137)
Знак " -" перед одним из слагаемых показателей экспоненты выбран для
удобства. Подставляя в выражение для (1.134) функции G и D^v в виде
разложений типа (1.137), получим
?>(ж Z,X2-,Xi) =
f d4p\d4p2d4k = 1J [(2тг)4] D(k)G(P^G(-P^ х
(1Л38)
Выражение в круглых скобках равно
-Цр1"+р21*)е-'ыха-х)е-^х-х1'>.
Тогда, интегрируя по d4x, получим
d4pid4:p2d4:k
(ж3,ж2;ж1) = -7 [ d \vf f-^4 кDifyGip^Gip^iip!" +Р2М) X J [(2тг)г]4
х (2тт)4(5(р1 - pa - k)eipixi~ip2x2~ikxa. (1.139)
66
Глава 1. Частицы и их взаимодействие...
Сравнивая (1.137) с (1.138), получаем выражение для Gjl(pi,p2,k):
G"(j>i,P2,h) = -(2Tr)iiS(p1-p2-k)(p1^+p2u,hG(p1)G(p2)D(k). (1.140)
Здесь линиям соответствуют функции Грина, а в вершине стоит (1 +Р2д) и
закон сохранения (2тг)45(р1 - р2 - к).
Наша диаграмма соответствует процессу, когда мезон с импульсом pi
распадается на 7-квант с импульсом к и мезон с импульсом Р2 = Pi - к.
Поскольку здесь 4-импульсы лежат не на массовой поверхности, т. е. Pq ф
р2 + тп2 и fcg ф к2, говорят, что этот процесс виртуаль-
Правила сопоставления графикам амплитуд в импульсном представлении проще,
чем в пространственном, здесь каждой линии и вершине сопоставляется
соответствующий множитель: G(pi), G(p2),
Соответствующая диаграмма выглядит так:
ный.
D(k), Гй.
Аналогично рассмотрим рассеяние мезонов друг на друге:
х
X
Х1 Х\
+
Х2 Х2
Диаграммы и амплитуды в импульсном..
67
Вычисление проводится точно так же. Первой диаграмме в координатном
представлении можно сопоставить в импульсном представлении следующую
диаграмму:
Pi__________7(Р1м +Piy)___________Pi
к
Р2 7(Р2М+Р2М) Р2
Действуем, как в предыдущем случае: пишем G(x2, х'х\ Х2, х\) в виде
(1.136) и раскладываем в интегралы Фурье входящие в нее свободные функции
Грина, получаем в результате выражение типа (1.138). Каждой функции Грина
будет соответствовать своя импульсная переменная от ее Фурье-разложения,
в вершинах от дифференцирований, как и раньше, появятся - i^{pi^ +Pi/J и
- ij(p2n + P2/J? а> соответственно, интегрирования по d4x и d4x' дадут
(2tt)45(pi + к - р^), (2тг)45(р2 - к-р2), т. е. законы сохранения в
каждой из вершин. Будет присутствовать одно лишнее по сравнению с (1.140)
интегрирование по d4k. Таким образом, имеем 4
G(p'1,p2;p1,p2) = J
X G(p1)G(p2)G(p/1)G(p,2)^2(p1^ +Р^)(Р2Й +Р2ц) х
х (2тг)4i5(piк - р[)(27г)415(р2 - к - р2). (1.142)
Выражение (1.142) содержит интегрирование по импульсу к промежуточного
фотона.
Суммируя, мы можем сформулировать следующие правила сопоставления
амплитуды диаграммам в импульсном пространстве.
1. Каждой линии сопоставляется множитель - соответствующая функция
Грина: р
----------------------- G(p)
к
D(k)
68 Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
2. В каждой вершине - (27r)4i5(pi - Р2 - k)j(pi +?>2)^
Р1
Р 2
3. Затем нужно проинтегрировать по импульсу промежуточных частиц, т.
е. по импульсу, соответствующему каждой внутренней линии с весом
d4k/(27r)4i.
Вернемся к выражению (1.142). Интеграл в правой части легко вычисляется
при помощи ^-функции. Учитывая наличие второй диаграммы, которой в
импульсном пространстве соответствует график
Pi Р2
к
Р 2
Pi
для суммарной амплитуды получим выражение
G(p2,p[;p2,pi) = (2n)4id(p1 +р2 -р[ - P2)G{p1)G{p2)G(p'l)G(p2)x
2 (pi +Pi)n(P2 +P2V 2 (.Pi +Рг)м(Р2 +Pl)n 7 ------7------7^--------7 ----
-----------------
(Р2 - Р2У
, (1.143)
(P2~Pi)2
^-функция здесь выражает общий закон сохранения 4-импульса между
начальным и конечным состоянием системы.
1.10 Амплитуды реально наблюдаемых процессов
Пусть частица в некоторый момент времени t\ описывалась волновой функцией
е~грх
(fi(x 1) =
V2E'
(1.144)
1.10. Амплитуды реально наблюдаемых процессов
69
тогда в некоторый другой момент она будет описываться функцией
Ф(У1) = [ G(yi (1.145)
J С/Х ю
где
G(yi-xi)= --------------------------------- •
xi yi
Однако она может и развалиться, например, на две, т. е.
И волновая функция системы будет уже такой:
ф(У2,Уз)= [ G(y2,y3-,x1)i^-(p(x1)d3x1 (1.146)
J ОХ10
и отвечать двухчастичному состоянию.
Вероятность обнаружения ровно одной частицы во всем объеме, как мы уже
говорили, есть
/
(p*i^-(pd3x - Pi. dx0
Величина Pi < 1, поскольку при наличии взаимодействия имеется некоторая
вероятность найти 2 и более частиц: Р2, Рз и т.д. Например,
Р2 = j ip*(xi)tp*(x2)i-^^i-7^(p{xi)p{x2)d3x1d3x2.
Согласно нашему условию ортогональности (1.72) амплитуда вероятности
перехода частицы с импульсом pi в состояние с импульсом р2 в
70
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
определенный момент времени есть
