Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
плотности вероятности. Для этого она сама должна быть положительной:
непосредственно этого сказать нельзя, так как р состоит из экспонент,
которые осциллируют, за исключением стационарного случая, когда
/+ = г) , p(r,t) = 2о;|Ф(г)|2.
Значит, для стационарного состояния, р можно придать смысл плотности
вероятности, как и в нерелятивистской квантовой механике.
30
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
В общем случае этого сделать нельзя. Причина этого глубоко связана с
самой природой релятивистской квантовой теории. В нерелятивистской теории
в процессе измерения свойства частицы как таковой, не меняются. В
релятивистской же теории, как мы вскоре увидим, количество частиц не
сохраняется. Поэтому попытка измерения координаты фотона за конечное
время (что приводит к нестационарному состоянию) приводит к рождению
новых фотонов, и потому понятие одночастичной волновой функции утрачивает
смысл.
Итак, мы получили, что в качестве волновой функции фотона можно выбрать,
в частности, положительно-частотное решение уравнения Даламбера (1.59),
тогда можно определить функцию р(х) так, что интеграл от нее по всему
пространству сохраняется во времени, а в случае стационарного состояния
ей можно приписать смысл плотности вероятности, как в обычной квантовой
механике.
Как выглядит условие ортогональности для волновых функций фотона,
соответствующих различным к? В нерелятивистской квантовой механике
В этом смысле отрицательно- и положительно-частотные решения
ортогональны, т. е.
(1.71)
В нашем случае соответствующее выражение имеет вид:
(1.72)
Свободное движение частицы описывается плоской волной:
откуда
(1.73)
1.3. Электромагнитное поле
31
Функция (1.73) описывает свободно распространяющийся фотон с заданной
энергией и импульсом.
На самом деле мы описали пока не совсем фотоны, поскольку реальные фотоны
имеют векторный характер (описываются четырехмерным потенциалом А^).
Повторим теперь наши рассуждения для реальных фотонов. Также выделим
положительно- и отрицательно-частотные части из решений уравнения
Даламбера для А^\
Это выражение записано в виде a + а* в силу вещественности А^{х).
Подставляя (1.75) в (1.74), получим, как и раньше,
Нормированному состоянию с определенным импульсом соответствует
где - единичный вектор поляризации, (1.77) получается аналогично (1.73).
?4* = 0.
(1.74)
Ищем решение в виде
/г]3 к
- [ait(k)e-ikx + al(k)eikx]. (1.75)
к2 = к^ = 0 или fco = ± | k|.
Волновую функцию фотона можно записать:
(1.76)
(1.77)
Из условия Лоренца следует
или
т. е.
^ - 0.
(1.78)
32
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Это условие четырехмерной поперечности фотона. Что оно означает? Вообще
говоря, в четырехмерном пространстве можно ввести 4 независимых вектора
е*, в силу (1.78) остается 3 независимых вектора, ортогональных но
поскольку А:2 = 0, один из этих векторов совпадет с так как "он сам себе
ортогонален". Иначе говоря, в пространстве Минковского, в отличие от
евклидового, нельзя построить три вектора, ортогональных вектору, у
которого А:2 = 0.
Действительно, выберем систему координат так, что
к || z, т. е. = (fco,0,0,fcs) , к0 = kz.
Два вектора, ортогональных данному, имеют вид:
^ (^о5 ехч Су, &z) (0,1,0,0),
е(tm) = (0,0,1,0),
третий же вектор effl параллелен к^. Действительно,
&о43) - kzef) = 0 ; = ef\ так как ко = kz.
Следовательно, оба вектора effi и км имеют структуру (а, 0,0, а), т. е.
отличаются численным множителем. Кроме того, при помощи калибровочного
преобразования мы его всегда можем обратить в нуль, т. е. на физических
результатах наличие effl не должно сказываться. Действительно, уравнения
Максвелла инвариантны относительно замены потенциалов
А-и Ар + (1-79)
дх^
Разложив f(x) в интеграл Фурье, получим
^L= [ d3k
дх^ J (27г)а
e-ihx(-ik^)f(k), (1.80)
т. е. в импульсном пространстве калибровочному преобразованию
соответствует замена волновой функции фотона:
а^(к) -> а^(к) - iktlf{k). (1.81)
А поскольку а^\к) = е^\к)/у/2ко || /г,., ¦ то ясно, что выбором f(k) мы
всегда сможем обратить эту компоненту в нуль.
1.3. Электромагнитное поле
33
Таким образом, у фотона могут быть только две независимых поляризации,
роль которых играют пространственные компоненты векторного потенциала.
Поэтому, хотя спин фотона равен 1, вклад в физически наблюдаемые величины
могут дать только 2 поперечные проекции. Этот факт является следствием
равенства нулю массы фотона (к2 = т2 = 0).
Итак, волновую функцию фотона мы можем записать в виде: f - f ~^-
^^^ze~ikxC(k X) =
= ? / <L82>
A=l,2 *
Чтобы сконструировать плотность вероятности мы должны составить величину,
аналогичную (1.72), из /м и просуммировать по векторно-
-Q (1) (1)
му значку. Ь соответствии с нашим соглашением о метрике =
(2) (2) 1
= = -1 это подразумевает, что суммировать надо со знаком
минус, таким образом
Р =
Условие нормировки для фотона:
-9^ J f^h' {x)i^f^lk{x)d3r = -e^2e^(27r)3(5(k-k') =
= 5Л1А2(27г)3(5(к-к'). (1.83)
Полученные нами волновые функции имеют простую классическую
