Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
времени ti, когда частица родилась? Иначе говоря, возможен ли график
ti
(считаем далее на графиках, что ось времени направлена слева направо)?
В действительности этот график можно понимать и иначе: именно, будем
считать, что в момент t родились 2 частицы, а в момент t\ одна из них
исчезла. При такой интерпретации причинность сохраняется, и подобные
графики имеют смысл. Рассмотрим еще один пример:
tl__^^^^__________________t2_
Если tf < t, то этот график можно интерпретировать иначе: в момент tf
родилось 2 частицы, в момент t частицы, распространяющиеся из ri и г',
аннигилировали, и в момент t2 осталась одна частица.
38
Глава 1. Частицы и их взаимодействие...
Такая интерпретация возможна, если предположить, что функция
распространения, в присутствии взаимодействия, описывает также и
процессы, в которых на некотором интервале времени может существовать
несколько частиц. Таким образом, в релятивистской теории, чтобы ввести
взаимодействие, нам приходится отказаться от сохранения числа частиц. Это
как раз и соответствует тому, что нам не удалось ввести локальную
плотность вероятности. Несохранение числа частиц, т. е. возможность их
рождения или уничтожения, ничему не противоречит, поскольку, в силу
соотношения неопределенностей AEAt ~ 1, на короткий промежуток времени
может родиться сколько угодно частиц. Ясно, что для того, чтобы описанная
интерпретация распространения частицы от t\ до t при t < t\ имела смысл,
K(t,ti) при t < t\ должно равняться K(t,ti) при t > t\, но при том же
значении 11 - t\\, если предполагается, что в момент t < t\ рождаются те
же частицы. Для того, чтобы это имело место, функция распространения
должна быть разрывна при t = t\. В результате так определенная функция
распространения не может удовлетворять однородному уравнению Даламбера.
Она окажется функцией Грина этого уравнения.
Рассмотрим теперь связь между функцией распространения (1.90) и функциями
Грина уравнения Даламбера:
OG(x) = - i5(x).
(1.93)
Разложим G(x) в интеграл Фурье:
(1.94)
1.4. Фотоны во ивнешнем поле"
39
Аналогичное разложение для 5(х) имеет вид:
д(х) = J
dAk
(2тг)4
- гкх
Подставляя (1.95), (1.94) в (1.93), получим
пад = / (0i(-t2)e"'"G(t) =
d4k
(2тг)4
- гкх
откуда
тогда
G(k) = -?,
G{x) = - J S^y-.e~ikx 1
(1.95)
(1.96)
(1.97)
(2тт)Аг к2
Поскольку к2 = к $ - к2, подынтегральное выражение (1.97) имеет два
полюса по ко: ко = =Ь|к|. Чтобы интеграл (1.97) имел смысл, эти полюсы
нужно немного сдвинуть в комплексную область.
Рассмотрим комплексную плоскость fco-
@
+ X ? +
ко * - к дГ + JI о
? о о X
40
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
У нас имеется 4 возможности сдвига полюсов с вещественной оси, как
указано на рисунке.
1. Пусть оба полюса снизу (отмечены "о"), тогда если t < 0, то контур
нужно замкнуть наверх, и тогда
Gr = 0 , t < 0. (1.98)
При t > 0 контур нужно замкнуть вниз, тогда
[ d3k e~^t+ikr f d3k eilfelt+ikr Gr = J (2тг)3 2|k| J (2тг)з
2|k| ' * > °' (L99)
Gr содержит отрицательные частоты и поэтому нас не устраивает.
2. Рассмотрим теперь случай расположения полюсов, отмеченный х на
рисунке, т. е.
при t > 0, замыкая контур вниз, получим:
[ d3k e~^t+ikr У (2тг)3 2|k| ' f>°
(1.100)
1.4. Фотоны во "внешнем поле" 41
и, соответственно, при t < О
^3^ ег|/ф+гкг
G =
f d к ег\ \ + , ч
J (2тт)3 2|к| • (1Л01)
Сравнив (1.100) с (1.89), обнаруживаем замечательный факт: при t > 0 наша
функция Грина совпадает с функцией распространения и устроена таким
образом, что содержит отрицательные частоты только при t < 0 (и только
отрицательные). Более того, поскольку фаза подынтегрального выражения
(1.101) содержит |fc| > 0, a t < 0, то
G(x) = G(-x). (1.102)
Эту функцию G называют причинной или фейнмановской функцией Грина. Как мы
увидим ниже, именно эта функция описывает распространение релятивистских
частиц таким образом, чтобы причинность выполнялась. Положение полюсов в
фейнмановской функции Грина отвечает замене к2 -> к2 + is в знаменателе
выражения (1.97).
Рассмотрим теперь, что будет, если принять во внимание спин фотона, т. е.
с учетом того, что волновая функция фотона имеет вид f?(x). Функция
распространения в этом случае будет зависеть от спинов
начального и конечного состояний, т. е. К = причем
К^(х 2,*!)= ? /Й"АЫ/?А*(Ж l). (1.103)
п, А=1,2
Аналогично и функция Грина фотона, ее обозначают Dудовлетворяет уже
уравнению
OD^(x) = +ig^5(x), (1.104)
/л4 и -гкх
(2тг)Ч k2+is' (1Л°5)
Малая мнимая добавка is сдвигает полюса как раз в нужную сторону;
действительно, к2 + is = 0 -> ко = ±л/к2 - is. При t > 0 (1.105) дает:
/d3k 1
Щ1е~*кхЩ' t>0' feo = |k|- (1Л06)
42
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Эта функция уже не совсем совпадает с функцией распространения (1.103),
поскольку
В (1.107) суммирование происходит по двум физическим поляризациям фотона,
а в (1.106)
т. е. выражение (1.106) не учитывает того факта, что независимых
поляризаций всего две. С другой стороны, это единственное решение
