Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
?>2
Pi
Сравнивая (1.161) и (1.160), сразу можно написать инвариантную амплитуду
рассеяния:
Т{Р2,Р[;Р2,Р1) = 72
(pi +pfl)v.(p2+p'2)u_ (pi +Pf2)v.(P2 +Pi)h
(р[ - Pi)2
(pi - Р2)2
(1.172)
80
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Перепишем (1.172) в инвариантных переменных. Для этого раскроем числители
в квадратных скобках:
(pi + p'i)AP2 + P2V = (2Р1 + к)Л2Р2 - к)и =
= (из закона сохранения к = р[ - pi) = + 2к(р2 - Pi) - к2 =
= 4pip2 + %р[р2 ~ ty'iPi + 2p[pi - 2pip2 + +2p\ -p2 -p\ =
= 2pxp2 + 2p[p2 +p\~ Pi +pl-pl = s-u,
аналогично для второго числителя получим s - t, тогда (1.172) запишется:
s - u s - t
Т = 7
(1.173)
t u
В выражение (1.173) вошла единственная неизвестная константа 72, и ясно,
что ее можно определить из эксперимента по рассеянию. Но на самом деле
эксперимента делать и не надо, поскольку в области малых импульсов
формула (1.173) должна переходить в известную нерелятивистскую формулу
для кулоновского рассеяния.
Для перехода к нерелятивистскому пределу вычислим s, t, и в системе
центра масс, где
Pi = -Р2; р\ =
PlO = Р20 = Рю = Р20 •
Тогда
s = (Р10+Р20)2 - (pi + Р2)2 = (рю +Р20)2 = Е2, t = (p'10-pw)2 ~ (Pi -
p'l)2 = -|pi|2 - Ip'll2 + 2^111^1 cos6> =
= -2p2(l - cos (9) .
и получается из t заменой p'x на p'2, т. e.
и = - 2p2(l + cos#); рю = \Jp2 + ra2; -> 5 = 4(p2 + m2).
В нерелятивистском пределе s = E2 ~ 4m2; t,u <C s. Тогда (1.173)
принимает вид:
T = -7 4m
(1.174)
1.10. Амплитуды реально наблюдаемых процессов
81
С другой стороны, в нерелятивистской квантовой механике для амплитуды
рассеяния / в борновском приближении имеем:
f = ~^J e~i4rU^d3r + /обмен-
Здесь /1 = т/2 - приведенная масса. В хэвисайдовых единицах куло-новский
потенциал имеет вид:
и(г>=&
тогда
/ = ~4^е2^2 + /обмен • (1.175)
При рассеянии на малые углы # <С 1 обменными членами в (1.174) и (1.175)
можно пренебречь.
Теперь мы можем найти связь между нерелятивистской амплитудой / и Т.
Сечение выражается через / как
dcr = \f\2dQ. (1.176)
Сравнивая с (1.171), получим
Т Т
(1.177)
Подставляя в (1.177) значение / (1.175) и Т (1.174), найдем наконец
значение нашей константы 72:
7П 2 1 2 4ш2
27г6 <?2 ^ <721б7гш
Отсюда следует, что
72 = е2. (1.178)
Таким образом, 7 совпадает с зарядом частицы.
Отметим, что в наших единицах е2/47г = 1/137 <С 1. Таким образом, мы
действительно с хорошей точностью можем ограничиться простейшими
процессами.
Подставляя теперь в (1.173) 72 = е2, получаем Т при произвольных
энергиях. В с.ц.м. (1.173) принимает вид:
т _ _ -2 3 + cos в + 2т?/р2 3 - cos (9 + 2т2/р2~\
1 - cos в 1 + cos в
82
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Результатом релятивизма здесь является появление зависимости амплитуды от
величины импульса р налетающих частиц.
Приводим график зависимости Т от cos0:
Суммируя, мы показали, что константа взаимодействия заряженных
бесспиновых частиц с электромагнитным полем совпадает с зарядом этих
частиц, т. е. 72 = е2, и получили формулу (1.179) для инвариантной
амплитуды рассеяния 7г+ на 7г+ (или 7г_ на тт~) в первом порядке по е2.
Рассмотрим теперь рассеяние тт~ на 7г+, т. е.
В координатном представлении простейшие диаграммы, описывающие рассеяние
заряженных частиц, имеют вид:
1.10. Амплитуды реально наблюдаемых процессов
83
XI
хг
X1
+
Х2
Х2
XI
Если устремить хю,х2о -оо, х'10,х'2о -" +оо то, как мы говорили, получим
амплитуду рассеяния тг~тг~.
А что, если вычислить амплитуду при условии ?10,^20
Х20,Х[0 -> +00?
Тогда процесс
перейдет в
Х\ X Х2 Х2
чтобы сохранить заряд, интерпретировали этот процесс так: из х\ в х'
распространяется частица, а из 12 в х' -античастица с противоположным
зарядом, а также ввели стрелки, чтобы помнить, в какую сторону
дифференцировать со знаком "+", а в какую - со знаком Таким образом,
диаграммы можно переписать так:
XI X Xi
7T~ 1 7Г_ 1 1
7T + 1 1 1 7Г+
X2 х' Х2
получим рассеяние тг на 7г
ж2
Xi
как при рассеянии тождественных частиц, и описывает аннигиляцию двух
мезонов, а потом превращение фотона опять в два мезона, т. е. процесс
через промежуточную частицу.
Вычислим амплитуду, соответствующую первому графику. Здесь можно
поступать как раньше, т. е. вычислить функции Грина для 7Г_:
dVi _
G(x'i - х) = j
(27г)4г
d3p[
m2 - p2
(27г)3
(1.180)
84
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
для 7Г+ аналогично:
G(x2-x') = J ^Ър,+ (х2)%,+ (х'), (1.181)
где
Ф" =
- грх
VWo
и т.д., но неудобно то, что необходимо помнить, в какую сторону оператор
дифференцирования должен действовать со знаком "+", а в какую - со знаком
Гораздо удобнее написать сразу амплитуду для рассеяния тт~ на тг-, т. е.
для "неразвернутых" стрелок, а в соответствующих функциях Грина замкнуть
контур наоборот, в силу условия ^10^20 -°°5 ^205^10 +°°- Тогда, как и
прежде, будет входить
функция Грина
Г dAvо e~ip,^x'~x2^
G(x' -х2)= -^г-----та-- (1-182)
J (27г)4г тп - p2z
Но контур здесь, в отличие от прежнего случая, надо замкнуть наверх, т.
е. на полюс р'20 = - д/р2 + ГГ)2- Тогда
