Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибов В.Н. -> "Квантовая электродинамика" -> 17

Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.

Грибов В.Н. Квантовая электродинамика — НИЦ, 2001. — 288 c.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 60 >> Следующая

/^(У)*^ф(У)сг3У = Jvl2{y)i^G{y - x)i^ipPl{x)dzxd3y.
(1.147)
Амплитуда вероятности распада этой частицы на две с импульсами р2 и р3:
(jP2,Pz\Pl) =
Р2РЗ
. d . д п, ч
гя-гя-G{y3,y2;x1) х ОУ20 оузо
. д
(1.148)
Здесь
0-гр2у2~грз Уз
'Р2РЗ у/2Е2 ¦ 2Е3 '
Таким образом, можно определить некоторую матрицу U, которая начальное
одночастичное состояние в момент времени t\ переводит во всевозможные
состояния в момент времени т. е.
Ф(У2,Уз)
Ф(У4,У5,Уб)
V
/
/фРЛ
0
= и 0
0
\ • ;
(1.149)
Если устремить t\ -> - оо, t2 -" +оо, то отличным от нуля останется
только матричный элемент С/ц, поскольку реальный развал частицы запрещен
законами сохранения.
Если в начальный момент было 2 частицы, тогда аналогично
(1.149) получаем
(1.150)
*ы \ ( 0 \
Ф(У2,Уз) ^Р1.Р2
Ф(У4,У5,Уб) = и 0
0
0
• / \ • /
1.10. Амплитуды реально наблюдаемых процессов
71
Здесь уже при t\ -> -оо, t2 -" +оо, может быть много возможных процессов,
поскольку две частицы могут рассеяться друг на друге, а могут родить и
новые частицы. У нас есть единственное требование: полная вероятность
всех процессов должна быть равна единице. Отсюда сразу следует, что
оператор U должен быть унитарным, т. е.
U+{t2,t1)U(t2,t1) = I. (1.151)
Если константа взаимодействия мала, 7 <С 1, то оператор U мало отличается
от единичного, т. е. его можно представить в виде
U = I + iV,
где величина V мала. Из (1.151) следует - iV^ + iV = 0, т. е.
У+ = V, (1.152)
что означает, что добавки за счет взаимодействия должны быть мнимыми.
(Мы и писали раньше -iV для нерелятивистской
квантовой механики. Для взаимодействия же с фотоном мы также
выделяли в вершине
множитель г, действительно, Гм = - ij(pi -\-р2)^. Из этого следует,
кстати, что можно ожидать, что константа 7 окажется вещественной.)
Устремив теперь t\ -> - 00, t2 -> +00, получим
U( оо, -00) = S', (1.153)
где S называется матрицей рассеяния или просто S'-матрицей.
Амплитуды вероятностей различных процессов можно вычислять аналогично
(1.147), (1.148). Например, для рассеяния (2 частицы -> 2 частицы) имеем:
S(ip) = J 4!*(y1,y2)i-^-i-^-G(y2,yi;x2,xi)x
n q О О
х i----i-----cp(x1,x2)d Xid x2d yxd y2
dx10 dx20
и т.д.
Мы для наглядности проделаем это вычисление чуть иначе. Нарисуем
диаграмму: до взаимодействия сколько-то частиц и сколько-то частиц после
взаимодействия, например:
72
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
У 2
У 3
Так можно изобразить любой процесс; кружочек обозначает всевозможные
промежуточные состояния. Все отличие здесь от прежних диаграмм для
функций Грина заключается в следующем: мы должны вычислять эти диаграммы
в пределе
Xi0 -> -00, т. е. ж'0 - xi0 > О,
Уго -> +оо, т. е. Ум - у'ю > 0.
(1.154)
В силу последних неравенств мы можем упростить функции Грина внешних
линий, поскольку (1.154) однозначно задает правила обхода полюсов.
Поэтому
G(yi -y'i) = J
d4p\ e-ipi(vi~vf d3p1 e-ipi(-yi-yi'> (2tt)4i m2 - p\ - is
J
(27г)а
(1.155)
Здесь Ei = \/Pi + m2, т. e. данная частица реальна. С другой стороны, в
силу (1.117) выражение (1.155) можно переписать так:
G(yi-y[) = j (2/1)4% Ы
Таким образом, произвольную функцию Грина х^ -" - оо, можно записать в
виде
G(yi,y2, ¦ ¦ ¦ ,Уп\Х1,Х2, ... ,хт) = d3pid3p2 ... d3p.
(1.156)
-> +оо
г
(:2тг)3п
х J d%d% ... dyn%1(y[)...%n{y'n)S{y'1,...,y'n-,x'1,...,x'm) X
1.10. Амплитуды реально наблюдаемых процессов
73
(1.157)
Это выражение можно переписать так:
G(yi,V2, ¦ ¦ ¦,уп;х1,х2,... ,хт) =
(1.158)
т. е. функция Грина есть суперпозиция плоских волн. Если начальные и
конечные импульсы частиц заданы, то амплитуда перехода между этими
состояниями есть по определению S(pi.. .рп; к\... кш):
S(pi,...,pn\h,---,km) =
Таким образом, S'-матрица может вычисляться с помощью тех же диаграмм,
что и функция Грина, только внешним линиям следует сопоставлять не
свободные функции Грина, а волновые функции соответствующих частиц.
Вычислим теперь матричные элементы S для процессов рассеяния, которые мы
рассматривали выше:
= J d4y,1...d4y'n%1(y'1)...%n(y'n)S(y'1,.. х Фк1(ж')...Фкт")^1...сг4<.
(1.159)
S = S(0) + S(1) + ...,
где
?<°> -
+
Х2 х'2 Х2 х[
В этом случае все просто и мы получаем
?(0) = S(P! - р[)6(р2 - р'2) + 5{р1 - р2)6(р2 - р[).
74
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
В следующем порядке по 7 появляются процессы с обменом фотоном:
pi____________________ Pi pi p'i
sw ~
P2 P2 P2 Pi
Вычислим первую амплитуду по сформулированному нами правилу:
3(1)(У;,^;Ж;,4) = 5(у[ - х'ЖуЬ - x'2)D(x'2 - Ж,1)ГА((Ж'1)ГА((4).
XI
Х1У1
У1
Х2
Х2У2
У 2
Тогда
2Л/Щ1~дх,1й V2Ж
D(x2 ~х'1) =
/-,4 Г л л eiPlXl г) e~ipiXl
s = J d x[d х'
gip2^2 Q g ip2X2
" у/Щ^дх1^ ^Ш2 = 72 Jd4x'1d4x,2el(^-pi')x^[-i(p'1 + pi)jU]e^-w)4 x
1 -ikix'^-x^) Mu
x [~г(Р2+Р2У-д==щ==== p (2тг)4г = 72 I x
(27г)4г к2
(2тг)46{р,1 -pi+ k)(2ir)45(p2 -p2~k) Л/2Е1 ¦ 2E2 ¦ 2E[ ¦ 2E2
1.10. Амплитуды реально наблюдаемых процессов
75
(pi +p1V(p2 + р'2)*
(Р2 -Р2У
= (2ж)Аг5(р'1 - pi +Р2-Р2)
X ^
\J2E\ • 2Е2 ¦ 2Е[ ¦ 2Е'2
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed