Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибов В.Н. -> "Квантовая электродинамика" -> 9

Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.

Грибов В.Н. Квантовая электродинамика — НИЦ, 2001. — 288 c.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 60 >> Следующая

интерпретацию. Записав вектор-потенциал в форме (1.75) и вычисляя среднюю
энергию электромагнитного поля
3 Е2 + Н2
I d6r----------1 " = о;,
Jv=1
мы видим, что нормировка нашей амплитуды а^ отвечает ситуации, когда
имеется ровно один фотон в единичном объеме.
34
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
1.4 Фотоны во "внешнем поле"
Попытаемся найти функцию распространения релятивистской частицы, которая
описывается волновой функцией f+(x). (От индексов пока снова
отвлекаемся.)
В нерелятивистской теории мы получили функцию распространения в виде
суммы
К(х2,х i) = (1-84)
П
причем сконструировали ее таким образом, чтобы
Ф(ж2) = J K(x2Jx1)4f(x1)d3r1. (1.85)
В релятивистской теории нужно учесть следующие моменты:
1. в начальный момент нам нужно задать и функцию, и ее производную по
времени;
2. волновая функция у нас была определена как положительно-час-тотное
решение уравнения Даламбера, поэтому необходимо, чтобы при действии
функции распространения на начальное состояние не появились отрицательные
частоты.
Попытаемся угадать вид функции распространения. Напишем логии с (1.84)
К(Х2,Х1) =^2fn(x2)fn*(xi)
П
и изменим формулу (1.85) следующим образом:
f+(x2) = J K{x2,x1)i-^-J+{x1)d3r1. (1.87)
Теперь можно проверить, что выражения (1.86) и (1.86) правильно описывают
изменение во времени волновой функции релятивистской частицы. Рассмотрим
вначале волновую функцию, которая отвечает одному стационарному
состоянию, т. е. положим
по ана-(1.86)
= №i),
1.4. Фотоны во "внешнем поле"
35
тогда
/+Ы = ^2fn(x2) J = /+(ж2). (1.88)
Мы учли условие ортогональности волновых функций в виде (1.72). В
нерелятивистском случае в соотношении, аналогичном (1.88), фигурировало
бы, соответственно, условие ортогональности в виде (1.71).
Таким образом, мы нашли правильный закон распространения релятивистской
частицы в стационарном состоянии fn, а поскольку любое состояние можно
разложить по /п, то этот закон справедлив для любого состояния. Отметим,
что вид (1.87) обусловлен тем, что уравнение Даламбера второго порядка по
времени (1.87) как раз и дает его решение при заданных начальных условиях
(т. е. при заданном значении функции и ее производной в начальный момент
времени).
Вычислим функцию распространения свободной безмассовой частицы. Мы уже
знаем, что ее нормированная волновая функция
тогда мы получаем
/л37, p-ik(x 2-xi)
<?F-5S-' IW
k0 = |k|.
Наша функция распространения релятивистски инвариантна. Чтобы увидеть это
явно, используя соотношение
{№" =
где Xi - корни уравнения f(xi) = 0, запишем ее в виде
/Н^к
-5(к2)е~гк^-^в(к0). (1.90)
Функция 9(ко) введена, чтобы отобрать только положительные частоты.
Выражение (1.90) имеет явно релятивистски инвариантный вид.
36
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
(Знак энергии также релятивистски инвариантен для частиц с к^ ^ О!) Легко
видеть, что К(х2,^1) удовлетворяет уравнению
П2К(х2,х 1) = 0 (1.91)
(где В2 обозначает оператор Даламбера). Действительно, подставляя (1.90)
в (1.91), получаем
k25(k2) = 0.
Теперь попробуем ввести взаимодействие V(x) в нашу релятивистскую теорию.
Мы введем его так, чтобы графику
Х\ X Ж2
как и раньше, соответствовала поправка к свободной функции
распространения:
J К(х2 - x)V(x)K(x - x\)dx. (1.92)
В нерелятивистском случае к аналогичному выражению мы требовали, чтобы t\
<t<t2- Это соответствует тому, что частица сначала возникла, а потом
взаимодействовала, мы учли это условие, введя функцию Грина:
G(x2 - xi) = 0(t2 - ti)K(x2 - xi).
Можно ли в релятивистской теории поставить такое условие? К сожалению,
вообще говоря, упорядочение по времени t\ < t релятивистски
неинвариантно. Оно становится релятивистски инвариантным, только если
интервал (х - xi)2 > 0, т. е. времениподобен. Однако функция К{рс 1 - Х2)
отлична от нуля и для пространственно-подобных интервалов, и поэтому
условие t\ < t < t2 привело бы к тому, что выражение (1.92) для амплитуды
перехода стало бы релятивистски неинвариантным.
Наши рассуждения мы можем проверить непосредственно; введем
G = 6(t2 - ti)K(x2 - Xi)
и посмотрим, какому уравнению удовлетворяет эта функция. Действуя
оператором Даламбера на G, мы получим
^-V22)G(x) = e(t2-h)
дв_дК_ д2в С^2 9t2 С^2
1.4. Фотоны во "внешнем поле"
37
В этом выражении в правой части первый член равен нулю в силу (1.91),
оставшиеся же члены явно релятивистски не инвариантны, т. е.
действительно, условие t\ < t < t2 не имеет смысла. Таким образом, нам не
удалось совместить два требования:
1. чтобы функция распространения содержала только положительные
частоты (мы ее строили именно так, поскольку только для положительных
частот можно ввести вероятностное толкование);
2. чтобы взаимодействие произошло в t между t\ и ^2, т. е. требование
причинности.
Отказ от требования 1 равносилен отказу от вероятностной трактовки
квантовой механики, так что посмотрим, нельзя ли пересмотреть понятие
причинности в форме 2. Может ли взаимодействие произойти раньше момента
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed