Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичное выражение возникает и для второй диаграммы, т. е. окон-
чательно имеем
= (2TT)4iS(p1 +Р2- р\ - р'2) (Pit* + Р2ц)(Р2" + Pl"Y
(Р1"+Р1и)(Р2"+Р2и)
(Р2-Р2)2
+
(Pi -Р2)2
(1.160)
Сравнивая (1.160) с выражением для функции Грина (1.142), видим, что все
отличие в следующем: в (1.142) внешним линиям соответствуют функции Грина
(свободные), в (1.160) - множитель 1 /л/2Е. Поэтому удобно в амплитудах S
выделять множители, соответствующие внешним линиям.
Запишем S в виде
S(p\, ¦ ¦ ¦ ,Рп,Р1,Р2) = 1 + (2тг fiSC^Pi -рг -р2)х П "7^7T(Pi' ¦ • •
>K;Pi.P2)-
^2Е1^ш2 у ,/щ
(1.161)
Здесь Т - так называемая инвариантная амплитуда рассеяния. Ее смысл
аналогичен рассмотренной нами нерелятивистской амплитуде (1.43). Мы для
простоты ограничились в (1.161) переходом двух частиц с импульсами pi, Р2
в п с импульсами ргъ ... ,р'п.
Вероятность такого перехода есть
dW = [(2тг)4(5(^р' -р1 -р2)]2х
2dVi---rf3K 1 1
х\Т\<
(1.162)
(2ж)3п 2Е\ ¦ 2Е2 2 Е[... 2 Е'п '
Воспользуемся тем, что |5(ж)|2 = 5(ж)5(0). Последнюю следует понимать
(2тг)4<5(0) = J d4xewx |р=0 = VT,
так:
76
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
где V - объем пространства, а Т - время, в течение которого происходил
процесс. Тогда для вероятности перехода в единице объема за единицу
времени получим
dW - \4г/ , V- ,ч 1
dw== - = (2тг) 6(рг +Р2-У p'i)
VT v у ^ ?^гг,2Е1 . 2Е2
(1.163)
Обычно мы интересуемся сечением dcr данного процесса:
<fa = Т = 1бГё5(2'г)4'5(п +и " ^,':)х
...(1Л64)
где j - поток сталкивающихся частиц.
Величина
d3p[ ... d3p'n 1
(2тг)3п 2 Е[... 2 Е'п
носит название инвариантного фазового объема. Мы с подобной величиной уже
сталкивались при вычислении функций Грина. Ее релятивистская
инвариантность непосредственно следует из сравнения соотношений типа
(1.105), (1.106).1
Определим теперь поток для двух частиц, движущихся навстречу друг другу.
Используя выражение для тока одной частицы (правая часть (1.115)),
получим
. Pi Р2 V\E2-E\V2 (Л лаг,\
3 = ё~гё;= е,ег • (1Л65)
Здесь pi, р2 - проекции трехмерных импульсов на ось столкновения.
Числитель (1.165) инвариантен относительно преобразований Лоренца вдоль
оси движения, и эта величина называется инвариантным потоком J, т. е.
J = 4EiE2j = 4(i?2Pi - Е1Р2). (1.166)
1Для вычисления полных сечений столкновения в случае тождественных частиц
инвариантный фазовый объем следует делить на п\ (если в конечном
состоянии п частиц), чтобы не учитывать тождественные конфигурации много
раз.
1.10. Амплитуды реально наблюдаемых процессов
77
В лабораторной системе
J = Атрь
(рь - импульс налетающей частицы, т - масса покоящейся частицы). В
системе центра масс
J = 4рсЕс.
Таким образом, сечение (1.164) полностью выражается через релятивистски
инвариантные величины. Как мы уже отмечали, это есть сечение для такого
процесса:
Рассмотрим теперь подробнее случай рассеяния 2^2:
Р2 р'2
Для описания таких процессов удобно ввести инвариантные переменные 5, t,
и:
s = (pi +Р2f = (pi +р'2)2,
t = (P'l ~Pi)2 = {Р2-Р2)2,
и = (pi -р'2)2 = (Р2-Р[)2- (1.167)
78
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Для выяснения физического смысла этих переменных рассмотрим их значения в
системе центра масс (с.ц.м.), тогда
5 = {рю +Р20)2 = t = -(p'l - Pi)2 = -с^,
М=-(Р1-Р2)2- (1.168)
То есть s есть квадрат полной энергии в с.ц.м., t - квадрат переданного
импульса частице V частицей 1, и - квадрат переданного импульса частице
2' той же частицей 1. s, ?, и называют манделыптамовскими переменными.
Они не являются независимыми, и можно показать, что (для случая, когда
все частицы, участвующие в процессе, имеют одинаковую массу га)
s + t + и = 4га2. (1.169)
Действительно,
s -\-1 -\- и =
= Pi + Р2 + Pi + р? + 2р\ + 2pip2 - 2piPi - 2pipr2 =
= Am2 + 2pi(pi +P2 -p'i -p2) = 4m2.
(Естественно, для частиц с различными массами было бы s + t + и =
= Ег тЬ)
Теперь при помощи (1.164) можно получить сечение. Переходим в с.ц.м.:
Ei = Е2\ |pi| = |р2| =р; рЕ
j = т-i т-i , где Е = El + Е2,
rj\?j2
И
л 1 \rr\2u , I !\ d?Pld?P2
5(Г1+К-П-р1)ЩЩ2*)Н2^2Г
Мы считаем здесь конечные частицы тождественными и поэтому делим фазовый
объем на 2!, чтобы не учитывать одинаковые конфигурации, возникающие в
результате их перестановки. Интегрируя по d3pr2, получим
1 \ГГ\2Х,ТГ I 17 Т?> тр!\ d3Pl
da = -\T\25{Ei +Е2-Е[- Е'2)-
АрЕ1 1 v 1 1 2/АЕ[Е'2{2п)221'
Перейдя к сферическим координатам, получим
d3Pi = p2dpdQ,
1.10. Амплитуды реально наблюдаемых процессов
79
т. е.
da =
1
4рЕ
Учитывая pdp = E\dE\, имеем
\Т\25(2Е1 - 2Е'2)
jrdpdQ
4?12(2тг)22!'
(fa = J_ir№E1-2?;,5^|
Интегрируя по энергиям, окончательно получаем
1
tier =
бЮ |т|21
-----------Т -
16?2(2тг)2' 1 2
(1.170)
Здесь мы учли, что 4Ei = 2Я, 5(2.Ei - 2Е[) = l/25(.Ei - Е[). Это
выражение можно записать в мандельштамовекпх переменных:
da =
87T^/s
dn
~2~'
(1.171)
Вернемся теперь к процессу кулоновского рассеяния тг тг , который в
низшем порядке описывается диаграммой:
V1
V1
V1
?>2
+
?>2
?>2
