Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
функции и ее первой производной.
В точке х = 0 эти условия приводят к соотношениям:
1 А = Вх -\-В2 ik(l-A) = v.(B1 - B2).
Соответственно в точке х = а имеем:
Вхе(tm) В2е~Уа = Се'ка, v.(Ble'-a -В2е~ш) = ikCelka.
Из этих уравнений находим:
Л -L
' pika (ру-а________р- _____
4 ik% v > 4iH
А = С k2,ilу* eika (ет - е~ш) =
gika (^fO. - 1 а т r2ixV0 ё ТА
вх^с- т' (>+"; | а
в, = с- 1 (i_" \ nika-\-xa
2 V * )
4 tk е~ г ка
Поскольку принятое выражение для падающей волны в ^ имело вид eikx,
коэффициент прохождения
D = СС*.
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
73
Вычисление дает:
АШ
D :
(?2 + V.2)2 sh2 %а + Akb?
Отметим, что коэффициент прохождения стремится к нулю при переходе к
классической механике, т. е. при й->-0.
Если ха^§>1 ^т. е. (V0- Е) '^>> ) ¦ то выражение
для коэффициента прохождения принимает более простой вид
С / С N гУ2МУ0-Е) _
Рассмотрим два конкретных примера:
а) Электрон с Е - 1 эз проходит через потенциальный барьер V0 = 2 эв и
а = 1 А. Для D получаем значение 0,777.
б) Пусть теперь на тот же потенциальный барьер падает протон с той же
энергией. В этом случае оказывается, что коэффициент прохождения делается
исчезающе малым D = 3,6 • 10_1Э.
4.
Я _ (fe3 - у-2) Sin2 У.д Л _ Y2p.Е v у 2|Л (? - _
Akb? (ft2 - -л2) sina %а \ h ' h J
5. Для случая Е <CV0 волновая функция может быть получена из выражения
для волновых функций задачи 11 § 1 изменением знака у Е и V0.
Общий вид волновой функции, относящейся к энергии Е
+ -фтГМ"х+^ -х-?4:--т) +
+ c2(chA) sh
2 '
ika , 1 3
'ТГ ' ТГ' ?
¦ sh2
?)¦ <¦>
где
Коэффициенты сt и с2 определяются из того условия, что при х->- -(- оо
волновая функция имеет асимптотический вид
(j, ^ gilcx.
74
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Для нахождения асимптотического вида (1) воспользуемся соотношением
F(a, 3, г, 2)- <- zT'F (", "+1'-1 •"+'¦7)+
+ iWTFi<-zr,''(ii. ?+1-т. ?+!-" 7)'
Отсюда находим:
<}>*->_" ~ (- If {(с^ - с2Л2) ( - у) lka eikx ¦
+ (^5! - с2Я2)( -\)kae-ik*)' . (2) + ~ j (С1А + С2^2) (у) e~lkx -)-
+ {схВ1 + с2В.2)(±)1каеЪ*У (3)
где для удобства введены обозначения г(1)г(- lka)
г (4)г (-1ы)
Аг
'Н + тМ + Т + т)
г(|)г<"")
а, = .
Различие в знаке перед коэффициентом с2 в выражениях (2) и (3)
объясняется тем, что sh функция нечетная и
второй член выражения (1) меняет знак при переходе от положительных к
отрицательным значениям х,
§ 2]
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
75
Требование того, чтобы на -)- сю была только прошедшая волна, приводит к
следующей связи коэффициентов
и с0:
с1А1 -)- с2А2 - 0.
При этом коэффициент прохождения будет иметь вид
D -
I С\В\ ~Ь сфъ |3
I - с2-^2 Р
Подставляя в последнее выражение значения коэффициентов Av А2, Bv Вг и
производя несложные преобразования, получим окончательно:
sh2 я ka
D-
D.
sh2 uka -f- cos2 1 -
sh2 7cka
sh2 Ttka -)- ch2
8<xV0a?
Й2
если
если
8(лУоа2
8|лУ0а2
ft2
< 1
> I-
6. Потенциальная энергия электрона имеет вид, изображенный на рис. 10.
Коэффициент прохождения
где точки д::
D^e
0, х = хп
[i (| В I ~Fx) dx
v0 - -- ограничивают область, недоступную частице согласно классической
механике. Производя вычисление интеграла в экспоненте, находим:
4 УЫ ,
D'.
a -UF
(1)
Для выяснения вопроса о границах применимости этого результата заметим,
что квазиклассическое рассмотрение неприменимо вблизи классической точки
поворота х0 внутри
/ Й \^2
и д:-х0 < (^2^) • Формула (1) применима в том
облает I
случае, если эта область меньше ширины барьера х0 = -
или
76
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Таким образом, это требование эквивалентно требованию малости
коэффициента прохождения D<^1.
Коэффициент прохождения D быстро убывает с ростом | Е | и растет с
увеличением F (см. таблицу 1).
7. Суммарная потенциальная энергия
Следует заметить, что это выражение при малых х (порядка атомного
расстояния) становится непригодным. Однако для вычисления коэффициента
прохождения точный ход потенциала вблизи этой области несущественен.
Коэффициент прохождения
Причем точки поворота xt и х2 определяются из условия обращения в нуль
классического импульса частицы
Р = УГ 2ц(|Е| - Fx- ?) = 0,
xi,2 ~~ 2F
\Е\±У Е* - е*Р'
О Р >
интеграл
| р dx = У j j/"
ЕI - Fx j-dx
представляет собою полный эллиптический интеграл. Заме-
р
ной независимой переменной х = ? интеграл сводится к функции одного
параметра
Таблица 1 ^
Коэффициент прохождения
р 10* 5.108 107 2 • 107 3-107 5-107 108 - ем
Без силы электрического изображения
Е - - 2 в Ю-84 1,3 • 10-17 3,5 ¦ 10-9 6-10-5 1,5 -10_3 0,02 0,14
Е = - Зв Ю-ш 1,3- 10"31 3,5-10-16 19-Ю-8 7•10-к 8-10~4
0,029
Е = - Ьв 10-332 4 ¦ 10-"7 6- 10-31 2,5 • 10"17 ю-11 2,5-10"7
5 • 10-4
С силой электрического изображения
Е - - 2 в 10-8° 8 • 10~15 1,3 • 10"й 0,013 1 *) 1 1
fa 11 '1 СО съ 10-ш 5-10-28 7 • 10-14 2,3 • 10~8 7 • 10-4 0,07
1
Е = - 5 в Ю-заз 8-10-65 10-Щ 2 • 10"15 6- Ю-10 10~5 0,01
*) Равенство единице коэффициента прохождения означает, что выход
электрона допускается классической механикой.
Прохождение через барьер
