Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
равен нулю. Учет недиагональных элементов, относящихся к одному и тому же
электронному (п, А) и вибрационному (к) состоянию, приводит к эффекту,
носящему название вращательного искажения спина. Рассматривая оператор w
как возмущение, определить изменение под влиянием этого возмущения
уровней дублетного терма.
26. Установить связь между величиной суммарного спина ядер молекулы D2,
находящейся в S-состоянии, и возможными значениями квантового числа К-
27. Определить зеемановское расщепление терма двухатомной молекулы;
терм относится к случаю а. Магнитное
44
ЗАДАЧИ
поле предполагается малым, т. е. энергия взаимодействия спина с внешним
магнитным полем мала по сравнению с разностью энергий между
последовательными вращательными уровнями.
28. Определить зеемановское расщепление терма двухатомной молекулы,
если терм относится к случаю Ь, и магнитное поле предполагается таким,
что энергия взаимодействия спина с внешним магнитным полем мала по
сравнению с энергией взаимодействия спин - ось.
29. Решить предыдущую задачу в случае, когда энергия взаимодействия
спин - ось мала по сравнению с энергией расщепления, обусловленного
внешним магнитным полем.
30. Определить зеемановское расщепление дублетного терма двухатомной
молекулы, если терм относится к случаю b и магнитное поле таково, что
энергия взаимодействия магнитного момента с этим полем одного порядка с
энергией взаимодействия спин - ось.
31. Определить расщепление в электрическом поле терма двухатомной
молекулы, имеющей постоянный дипольный момент р. Расщепляемый терм
относится к случаю а.
32. Решить предыдущую задачу для терма, относящегося к случаю Ь.
33. Определить энергию твердого диполя р, находящегося в однородном
электрическом поле рассматривая поле как малое возмущение.
Указание. Воспользоваться соотношением
cos ftp i f ~Ь О3 т2 р I 1Рр
^ >г1т у (2/ + 3)(2/+1) г+1'"гГК (2/+1) (2/-1) *-!>т'
34. При помощи теории возмущений определить закон взаимодействия двух
невозбужденных атомов водорода, находящихся на большом расстоянии R друг
от друга.
35. Рассмотрим совокупность атомов, распределение зарядов в которых
имеет шаровую симметрию. Как было показано в предыдущей задаче, между
двумя такими атомами, находящимися на большом расстоянии друг от друга,
действуют так называемые дисперсионные силы. Дисперсионные силы имеют
квантовый характер, и в отличие от классических поляризационных сил они
обладают свойствами аддитивности. Показать, что энергия взаимодействия
между двумя такими атомами не зависит от присутствия других
РАССЕЯНИЕ
45
подобных же атомов, т. е. показать, что энергия взаимодействия
совокупности атомов составляется аддитивно из энергий взаимодействия
между отдельными атомными парами.
1. Найти сечение рассеяния частицы потенциальной ямой при малых
скоростях (длина волны де Бройля значительно больше размеров ямы).
2. Определить сечение рассеяния медленных частиц в поле отталкивания
3. Выразить через фазы рассеяния первые три коэффи-
da
циента разложения сечения упругого рассеяния - по полиномам Лежандра.
Л
4. Найти фазы рассеяния в поле U = -$ . Определить
сечение рассеяния на малые углы.
б. Рассчитать дифференциальное сечение рассеяния в поле
отталкивания U = - в борновском приближении и согласно
классической механике. Определить пределы применимости полученных формул.
6. Найти дискретные уровни для частицы в поле при-
Г
тяжения ?/(г) =- U0e а при 1 - 0. Определить фазу рассеяния о0 для этого
потенциала и проанализировать связь между о0 и дискретным спектром.
7. Показать, что для кулоновского поля имеется однозначное
соответствие между полюсами амплитуды рассеяния и уровнями дискретного
спектра.
Указание. Воспользоваться формулой
§ 9. РАССЕЯНИЕ
U(r) = U0 (г < а), U(r) = 0 (г > а).
е
46
ЗАДАЧИ
8. Определить в борновском приближении дифференциальное и полное
сечение рассеяния в поле
а) U{r) = g*e-^f,
б) U(r) = U0e~^\
в) U (г) = U0e ~аг.
9. Используя борновское приближение, найти дифференциальное и полное
сечение упругого рассеяния быстрых электронов
а) атомом водорода; б) атомом гелия.
10. Рассмотреть столкновения одинаковых частиц с энергией
взаимодействия U (г). Найти эффективное сечение рассеяния медленных
одинаковых частиц в случае короткодействующих сил.
11. Рассчитать сечение упругого рассеяния электрона на электроне и а-
частицы на а-частице.
12. Рассеяние нейтронов на протонах зависит от суммарного спина
нейтрона и протона. При малых энергиях
сечение в случае триплетного соотношения (5 = 1) равно атриш1 _ 4и |д |2
2 . 10~21 см2, а в случае синглетного
(S = 0) ссппгл = 4^ |/j |2 78 ¦ 1СГ24 см2.
Введем оператор
/ =-----------------------4--1-4- p).
Как легко видеть, в случаях триплетного и синглетного состояний его
собственные значения равны /3 и /х соответственно. Для того чтобы
определить сечение рассеяния при произвольной поляризации нейтронов,
необходимо усреднить оператор /2:
о = 4тг/2.
Пусть спиновое состояние падающих нейтронов описывается
