Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
/с~ы cos ,'Л
функцией ( ia . р J (направление спина нейтрона задается полярными углами
Н = 2J3, Ф = 2а-)-^-> см- задачу 11 §4),
а спиновое состояние протонов функцией (спины протонов направлены по оси
z). Определить для этого случая сечение рассеяния нейтронов на протонах.
РАССЕЯНИЕ
47
13. Найти вероятность того, что рассеянный на протоне медленный нейтрон
изменит ориентацию своего спина, если до столкновения спины нейтронов
были направлены по оси г, а спины протонов - в противоположном
направлении.
14. Амплитуда рассеяния медленных нейтронов с энергиями заметно меньше
тепловых (X > 10-8 см, т. е. длина волны падающих нейтронов велика по
сравнению с взаимными расстояниями протонов в молекуле) на молекуле
водорода равна сумме амплитуд для обоих протонов.
Таким образом,
Протоны в молекуле водорода могут находиться как в состоянии с
параллельными спинами (ортоводород), так и в состоянии с
антипараллельными спинами (пароводород).
Определить сечение рассеяния нейтронов на пароводо-роде и ортоводороде.
15. Определить полное сечение упругого рассеяния непроницаемой сферой
радиуса а для быстрых частиц (длина волны де Бройля Х<^й)-
16. Доказать следующие свойства амплитуды рассеяния при энергии Е -*¦ 0
(длины рассеяния):
а) в поле отталкивания длина рассеяния отрицательна;
б) в поле притяжения, если нет дискретных уровней, длина рассеяния
положительна;
в) длина рассеяния обращается в со, если при углублении потенциальной
ямы появляется новый уровень.
Указание. Если от уравнения Шредингера перейти к эквивалентному
интегральному уравнению (Е= 0)
(r)п ((r)Р, +
то для асимптотического вида ф получаем
где длина рассеяния
выражена через потенциальную энергию и фя = о-
48
ЗАДАЧИ
17. Рассмотреть упругое рассеяние частиц со спином 1/г на скалярной
(спин равен нулю) частице. Найти дифференциальное сечение рассеяния с
переориентацией спина. Рассмотреть рассеяние 5 и Р волн.
18. Доказать, что в общем случае неупругого рассеяния имеет место
следующая формула, связывающая величину полного сечения о = оупр-(-онеуПр
и амплитуду упругого рассеяния при & = О
о = Jlm/(0).
Указание. Воспользоваться разложениями этих величин в ряды по
орбитальному моменту:
ОО
/(Г,)=ш 2(2/+1} (т-г -1} р*(cos
1 = 0
со
аУПГ = 52(2/+1)11"^|2'
г=о
оо
°яСУлр"= (2/ +1)(1" hi I2)'
1=>
19. Рассмотрим предельный случай так называемого "черного" ядра. Радиус
ядра R пусть будет велик в сравнении с де-бройлевской длиной волны
нейтронов. Будем считать, что все нейтроны, попадающие в ядро,
поглощаются. Определить полные сечения рассеяния и поглощения.
20. Рассмотрим ядерную реакцию
Л + а-> С-> В + 6.
Как будет выглядеть угловое распределение продуктов ядер-ной реакции в
системе центра инерции или, что то же самое, в системе промежуточного
ядра С в нижеперечисленных случаях. Если равен нулю:
а) спин промежуточного ядра;
б) орбитальный момент относительного движения продуктов реакции;
в) орбитальный момент относительного движения сталкивающихся частиц
(спин промежуточного ядра не равен чулю).
РАССЕЯНИЕ
49
21. Найти собственные функции операторов квадрата и проекции полного
изотопического спина Р и /г системы нуклон-мезон *).
22. В системе центра инерции рассеяние мезонов на нуклонах сводится к
рассеянию частиц на неподвижном рассеивающем центре. Тогда вдали от
центра падающая волна с определенным значением проекции спина Sz и
проекции 'изотопического спина тг запишется в виде
Разложить падающую волну по собственным функциям операторов J2, Jz, I2,
/г.
Указание. В системе мезон-нуклон интегралами движения являются четность
(- 1)г, полный момент J, изотопический спин /.
Так как полный спин в такой системе равен -, то
сохраняется также и орбитальный момент I. Поэтому при разложении падающей
волны по собственным функциям операторов сохраняющихся величин можно
вместо суммирования по J, I суммировать по I, I.
23. Найти амплитуды рассеяния тт-мезонов на нуклонах, выраженные через
фазы, для следующих реакций:
Здесь принимает значения: ¦ni=l для тг+-мезона, щ = 0 для тгО-мезона,
¦тс4 = - 1 для т;~-мезона,
" - !)=?+> § (л) == ср0, 8(* + 1) = ?-.
т:г принимает значения:
тг==-у для нейтрона
ТС+ -\-р -> 11+ -\-р,
тс" -\-р -> т:0 -\-п.
*) См. приложение II.
4 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
Во
ЗАДАЧИ
24. Показать, что амплитуды рассеяния для всех возможных реакций мезона
с нуклоном выражаются через написанные в задаче 23 в силу гипотезы об
изотопической инвариантности.
Выразить их через амплитуды рассеяния для состояний с изотопическим
спином 8/2 и 1/2.
25. Выразить через фазы полные сечения реакций:
тг+ + р -> 11+ -\-р,
it- -\-р -> те0 -|- п.
26. В области малых энергий, когда длина волны мезона значительно
больше радиуса сил взаимодействия между мезоном и нуклоном, основной
вклад в рассеяние вносят лишь S-и Р-волны.
Найти дифференциальное сечение рассеяния, выраженное через фазы, для
реакций:
7T++/7^Z++/7,
+ Р -> Л" -\-р,
