Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдман И.И. -> "Сборник задач по квантовой механике" -> 15

Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.

Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике — М.: ГИТТЛ, 1957. — 273 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpokvantovoymehaniki1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 56 >> Следующая

^=4/?{"+т+т
Таким образом, энергетический спектр (при соответствующем выборе начала
отсчета энергии) такой же, как у осциллятора с циклической частотой ш =
|/~. Интересно отметить, что нулевая энергия частицы для потенциала
( CL X
У(Д- - ~) всегда превышает нулевую энергию соответствующего осциллятора.
Волновые функции имеют вид
ф" = спх'е Vр (_п^ v+1, |/"^х2),
1 '. ГГ Л ¦
где v=Y^|/ -р- \- 1 -f- 1J , а постоянные сп могут
быть найдены из условия нормировки.
§ 1] ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 57
11. В уравнении Шредингера
-2Т(r)-(?+^|) + "°
сделаем подстановку
¦ ~КГ*
Уравнение для и лримет следующий вид:
сРа 4Х . лг du . 4 "
^-7thT^+7^X-/>м = 0'
где
|х?д2
(рассматриваем дискретный спектр Е < 0).
Если ввести новую независимую переменную
г = - sh2 - , а '
то это уравнение приводится к гипергеометрическому уравнению
- = (1)
Параметры а, ,3, у, входящие в гипергеометрическое уравнение общего вида
*0-i)g+"[T -("+'Р+ l)z]f - ар" = 0
имеют в нашем случае следующие значения:
7 = у, а = х-- X, р= - х -X.
Два решения уравнения (1), которые дают соответственно четные и нечетные
волновые функции имеют вид
"i -/*¦(-Х + х, -X -х, zj, (2)
м2 - "|/"2 F -X -|- х-!"-2" • -^ - У-+1Г ' Т ' 2)' ^
Эти решения приводят к ограниченным значениям волновых функций при х = 0
(2 = 0).
58
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Для того чтобы волновая функция
'Мсьт) 2"м
обращалась в нуль при х-+±со (z -> - сю), гипергеомет-рические функции в
выражениях (2) и (3) должны сводиться к полиномам. Это условие означает,
например, для uv что либо X- •/., либо X -(- х являются целыми
неотрицательными числами. Однако второй случай должен быть отброшен, так
как при этом волновая функция при х-+±оо экспоненциально возрастает.
Итак, получаем X- v. = k (k = О, 1,2, . . .) и уровни энергии
Еъ = - Г± - 2k - i]2
к 2ра? V 2 У 2 J
Аналогично этому для выражения (3) находим, что условие конечности
волновой функции при x->-^zdo выполняется, если
X - х - -1 = / (/ = 0,1,2,...)
откуда
Объединяя эти выражения, находим:
(tt = 0, 1,2, .. .).
Число дискретных уровней равно наибольшему целому числу N,
удовлетворяющему неравенству
7V < - лГвр-УУ2 j___}_
4 2 Г Ь 2 ' 2
Отметим, что полученный спектр энергий совпадает при соответствующем
выборе параметров со спектром для потенциала Морза (см. задачу 11 § 8).
12. В волновом уравнении •
-wQ-{E-v-c,e'ixh~°
§ 1] ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 59
сделаем подстановку
. / . п \-2Х
ф = I sin - х) и.
Полагая
8|хУйа?
7СаЙа
и/
-Zm*<-E+V&
1-1
приходим к следующему уравнению для и:
<Ри . л . . тIX du , 4г.2, " . _
- - 4 •- X ctg -- --Ь-тгО"-Х2)и = 0.
dx2 а ъ a dx 1 a2 4 Введением независимой переменной
9 Г.Х
z - COS2---
последнее уравнение приводится к гипергеометрическому
* (1 _ г)g + [i. _ (1 _ 2Х) z] g + (v2 - X2) и = 0. (1)
Сравнивая с общим видом гипергеометрического уравнения z- z)-2-\-[у-(а-)-
Р+ l)z] -j-z~аРи = 0, находим параметры:
Т = тг> а==~~''-Л' -х-
Уравнение (1) имеет два решения. Одно из этих решений отлично от нуля и
конечно при z = 0 (этому значению а \
соответствует х - ~2)
иг - F ^-v - X, v - X,
Другое решение
и2 - ^- 'i - X -1- -i-, v - X -(-g-, ;
обращается в нуль при z = 0 . Чтобы определить
поведение решений при z = 1 (это значение соответствует
60 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
двум значениям х = 0, х = а), воспользуемся соотношением F(a, р, у, z) =
(l-г)~ар(а, у- р, у! Для их и и2 по-
лучаем:
= - г),+х/>(-*_ X, -v+X+I, I; -L_), (2)
"а = (1 - ¦г)''4Х Т X
X Z7 ^ -у - ^ + у > - v + ^+l> ~2 ' г __ • (3)
Для того чтобы выполнялось условие обращения в нуль волновой функции ф
при х = 0 и х = а, необходимо, чтобы
Z
ряды по степеням -------^ содержали конечное число членов.
Гипергеометрический ряд в выражении (2) для ил обрывается, если либо
¦V -|- X -- целое положительное число или нуль, либо •> 1
ч- X-^-------целое положительное число или нуль.
Однако условию ф=0 при х = 0, х - а удовлетворяет только второй случай
V - X - 1 = А (6 = 0, 1, . . .).
Уровни энергии при этом
Ек = [{2k + 1 у + 4 (2k + 1) X - 2Х] g. (4)
Аналогичное рассмотрение выражения (3) показывает, что уровни энергии
определяются условием
v - X = / (1= 1, 2, 3, . ..). (5)
Выражения для уровней энергии (4) и (5) могут быть объединены
Ея = (й*+4йХ - 2Х)Ц ("=1,2,3,
При этом нечетным значениям п соответствуют волновые функции
• (tm)\~2Х р( п г" п 1 . ".я*
ОДНОМЕРНОЕ ДЙИЖЁНЙЕ
61
а четным п соответствуют sin
rujc\ их . .
- cos-X
а 1 а
Xf(-| + |, cos^ii).
Нормированная волновая функция основного состояния
= / щй+тгг(51"ss)!,+', =
Рассмотрим предельный случай 1/0->0. При этом задача сводится к задаче с
частицей в потенциальном ящике (см. задачу 1, § 1). Величина X обращается
в нуль и для уровней энергии получим, как и следовало ожидать, значения
Г --- ---- Г) *
п 2[ха2 ¦
В противоположном случае Х^>1 для низших уровней (п<СХ)
("=1,2,...),
где
Этот же результат можно получить, разлагая потенциальную энергию вблизи
точки х-~ и ограничиваясь квадратичными членами.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed