Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
расстояние, предполагая, что дейтрон находится в состоянии: а) 1Р1, б)
5Р1.
35. Используя выражение для матричных элементов векторов (см. Л. Ландау
и Е. Лифшиц, Квантовая механика, 1948 г., стр. 116), показать, что
квадрупольный момент ядра равен
Q = /(2/-l)S S{2(/+ 1)1 Г- 2/| 13} .
i-l n'
Суммирование проводится по всем протонам, число которых равно Z. Здесь /-
спин 'ядра, а п - совокупность всех остальных квантовых чисел,
характеризующих состояние.
36. Обозначим через о{ спиновую переменную i-ro электрона. Эта
переменная принимает два значения, -)-1 и ¦-1. Показать, что на функцию
f{vv <з2, ..., ог, ..., ап) спиновых переменных и-электронов операторы
МП),; MJ-U-
относящиеся к электрону номера I, действуют следующим образом:
°to/ = /(3i> •••> 3г-1> ai> aJ+1' •••> 3")> аiy f - (3i> ¦ • • >
°i~i> 3z> °г+1> • • •j °п)'
afe/= 5г/(31> ¦ • • > °г> °i+i' • • • >
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
25
37. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, показать, что
оператор квадрата полного спинового момента л-электронов может быть
представлен в виде
S* = "-
л < г
где Ркг есть оператор перестановки спиновых переменных ал и ог, т. е.
PuifiPv •••> °к-v 3?с 3*+i' •••' 3z-i> °г> Зг+v •••> Зп)==
-/(3i> • • ¦> ak-i> ai' ак+1> • • •> °г-1> а&> °г+1.°п)-
38. Показать, что в системе из двух частиц, обладающих спином */г> в
случае гамильтониана, симметричного относительно спинов, величина
суммарного спина S представляет собой интеграл движения.
39. Система состоит из двух частиц. Спин одной равен 1/2. другой 0.
Показать, что при любом законе взаимодействия этих частиц орбитальный
момент количества движения является сохраняющейся величиной.
40. Имеется возбужденное ядро А со спином 1, находящееся в четном
состоянии. Энергетически возможна реакция с испусканием а-частицы
А-*-В-(-а.
Устойчивое ядро В, получающееся при этой реакции, пусть имеет спин,
равный нулю, и находится также в четном состоянии. На основании
сохранения момента и четности показать, что такая реакция запрещена.
41. Показать, что L-орбитальный момент относительного движения двух а-
частиц- всегда является четным числом (L = 0, 2, 4, . . .).
42. Может ли возбужденное ядро Be(r) со спином, равным единице,
распасться на две а-частицы.
43. Исходя из того, что единственное связанное состояние системы
нейтрон - протон (п, р) четно, суммарный спин в этом состоянии равен
единице и силы взаимодействия (п, п) и (п, р) одинаковы, показать, что
два нейтрона не могут образовать связанной системы,
26
ЗАДАЧИ
§ 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
1. Частица движется в центрально-симметричном поле. Уравнение для
радиальной части волновой функции Rnt преобразовать к виду уравнения
Шредингера для одномерного движения.
2. Найти радиальную волновую функцию частицы в цен-трально-
симметричном поле в квазиклассическом приближении.
3. Доказать, что в центрально-симметричном поле в случае дискретного
спектра минимальное значение энергии при заданном I (I-орбитальное
квантовое число) растет с увеличением I.
4. Система состоит из двух частиц, массы которых
и а2. Выразить оператор суммарного орбитального момента 1^-\-12 и
суммарного импульса Pi~^-P2 через координаты п м-i 1 м- *>1* я
центра тяжести R = ^и взаимного расстояния
М-1 + М-2
r = r2 - rv Показать, что если потенциальная энергия взаим.одействия
частиц зависит от их взаимного расстояния U = U (| r2- /"il), то
гамильтониану можно придать вид
Й \ Й2 (м-i + М-г) * I гг(г\
Н = "^(М-Г й-0 А"-------2Й1Г- А^+ 'U W-
где Ад и А,. -операторы Лапласа по компонентам векторов Янг.
5. Определить волновые функции и энергетические уровни трехмерного
изотропного осциллятора.
6. Решить предыдущую задачу разделением переменных в декартовых
координатах. Представить волновые функции для пг = 0, /= 1 (см.
предыдущую задачу) в виде линейной комбинации найденных волновых функций.
7. Считая, что нуклон в легком ядре движется в усредненном
потенциальном поле вида (J(r) = -
определить число частиц одного сорта(нейтронов или протонов) в
заполненных оболочках. Под оболочкой следует понимать совокупность
состояний с одним и тем же значением энергии.
8. Вычислить теоретические радиусы ядер Не* и 0*6; имеющих замкнутые
оболочки, исходя из предположений
§5]
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
27
относительно потенциала, высказанных в предыдущей задаче. Под
теоретическим радиусом ядра следует понимать расстояние от центра тяжести
ядра до той точки, где
проводится по всем нуклонам) падает сильнее всего, т. е.
9. Взаимодействие между протоном и нейтроном можно приближенно описать
потенциалом U(r) = - Ае~г!а. Найти волновую функцию основного состояния
(/ = 0). Определить связь между глубиной ямы А и величиной а,
характеризующей радиус действия сил, если эмпирическое значение энергии
связи дейтрона Е = - 2,2 Мэе.
10. Определить приближенно энергию основного состояния дейтрона, если
потенциал U (г) - - Ае~г!а (А = 32 Мэе, а - 2,2 ¦ 10~13 см), исходя из
