Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
31
16. В области х > 0 имеется однородное магнитное
поле = 0, Звz = &С\ в области д: < 0 поля нет.
На плоскость раздела падает из области х < О пучок поляризованных
нейтронов с импульсом р. Найти коэффициент отражения нейтронов от границы
раздела.
17. Частица со спином находится в однородном магнитном поле, постоянном
по абсолютной величине и изменяющемся во времени по закону
- $6 sin Я cos о"/, Шу = сЖ sin ft sin со/,
В момент времени /=0 проекция спина на направление магнитного поля имела
значение -f- '/г. Определить вероятность перехода частицы к моменту
времеьи t в состояние, в котором проекция спина на направление магнитного
поля равна - V 2.
18. Частица, обладающая спином x/s и магнитным моментом ц, движется в
неоднородном магнитном поле вида
$вг = + kz, mv = - ky, 38х - 0 (div Ж =
0).
а) Найти выражения для зависящих от времени операторов координат х,
_у, z.
б) Определить средние значения координат и зависимость дисперсии
координат от времени, если волновая функция частицы в момент времени t =
0 имеет вид
19. Нейтральная частица находится в пространственнооднородном магнитном
поле, изменяющемся во времени лишь по направлению, но не по абсолютной
величине.
Написать уравнения для спиновой функции в ";"-представлении, где ось ?
направлена вдоль магнитного поля. Показать, что в случае достаточно
медленного изменения направления магнитного поля вероятности тех или иных
значений проекций момента на направление поля не изменяются.
32
ЗАДАЧИ
§ 7. ATOM
1. Используя неравенство
J* | V<|)-|-Z<|)Vr|adT;> о,
найти минимальную энергию одноэлектронного атома и соответствующую этой
энергии волновую функцию. Показать, что для основного состояния атома
выполняется соотношение 2Т | v |.
2. Электрон в кулоновом поле ядра заряда Z находится в основном
состоянии. Показать, что средний электростатический потенциал в
пространстве, создаваемый ядром и электроном, равен
2 7г
e(Z-l) , (Z , 1 \ ~ ( ЙП
? =------г-----\-е(т + т)е '
3. Показать, что в основном состоянии атома водорода:
ч №
а) наивероятное значение г равно а - ,
Т 1
о) среднее значение - = -,
4. Волно.вая функция ф(г) описывает относительное движение двух
частиц: протона и электрона. Пусть координаты центра масс атома водорода
точно известны и равны
* = 0, К = 0, Z = 0.
Показать, что в этом случае плотность вероятности для протона имеет вид
где т. и М - массы электрона и протона соответственно.
б. Найти распределение по импульсам электрона в атоме водорода для
состояний Is, 2s и 2р.
6. Вычислить г2- г2 среднее квадратичное отклонение расстояния
электрона от ядра для электрона в атоме водорода, находящегося в
состоянии с квантовыми числами п, I.
7. Выразить собственную волновую функцию атома водорода в
параболических координатах с nl= 1, п2 = 0,
ATOM
33
m = 0 через волновые функции в сферических координатах. Показать также,
что
8. Показать непосредственно, что степень вырождения п-го собственного
значения энергии атома водорода при решении уравнения Шредингера в
параболических координатах равняется п2.
9. Найти поправку к уровням энергии атома водорода за счет
релятивистской зависимости массы от скорости (учесть
10. Из релятивистского уравнения для электрона (уравнения Дирака)
следует, что, кроме поправки, учитывающей
U (г) - потенциальная энергия электрона (потенциал предполагается
центрально-симметричным). Наглядный смысл этого члена заключается в том,
что при движении магнитного момента (связанного со спином электрона)
появляется дипольный
с полем ядра. Найти поправку к уровням энергии атома водорода,
учитывающую член Нг (так называемое взаимодействие спин-орбита).
11. Показать, что квадрупольный момент атома водорода равен
12. Определить суммарную вероятность возбуждения и ионизации атома
трития Н3 при ,3-распаде. Вычислить также вероятности возбуждения п-то
уровня.
13. Найти энергию основного состояния двухэлектронной системы в поле
ядра с зарядом Z вариационным методом. В качестве допустимых волновых
функций взять
"з=0, m = n-1 (?> Ti> ?) - фй| 1-п-1, т = п- 1 'Ь tp)-
член порядка -
зависимость массы от скорости один член в гамильтониане
существует еще
где I - оператор орбитального момента, s - оператор спина,
электрический момент d = ~ который взаимодействует
3 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
34
ЗАДАЧИ
произведение водородных функций с эффективным зарядом Z'. Релятивистскими
поправками пренебречь.
14. Волновую функцию атома гелия с достаточной степенью приближения
можно положить равной следующему выражению:
Z' (г,+га)
7/3 / 97\
Ф = -^зе " \Z' =-jgj (см. задачу 13 § 7).
Показать, что электростатический потенциал, создаваемый атомом, равен
/ 1 z'\
?(',) = 2*(Т + т)е " '
16. Воспользовавшись приближенной волновой функцией основного состояния
атома гелия (см. задачу 13 § 7), вычислить диамагнитную восприимчивость
гелия.
16. Определить при помощи вариационного метода энергию основного
состояния атома лития с учетом обмена. В качестве собственных волновых
