Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом получим, что в области jc > а, т. е-для решений (2) и
(4), определитель Вронского
w = Jx ¦
Й
Из условия W (х < а) = W (х > а) находим, что с- 1. Искомое решение
получаем как линейную комбинацию функций ^ И ^2;
. Л
+ гТ
'V = ('Va - ^l) е
Окончательно имеем:
± \ I ^
_l X для д: < а,
fp
X X
. е
Y\P\ 2 У | jO |
для л; > a.
Теперь найдем такое решение одномерного уравнения Шредингера
/"2
ПРИЛОЖЕНИЯ
271
которое слева от точки возврата (см. рис.33) переходит в
квазиклассическое решение вида
и>
Y\p\
Для этого мы воспользуемся полученным выше результатом. Именно, искомое
решение представляет собой линейную комбинацию решений и 62 предыдущего
случая, где
а
а
, а
р dx
____р а
Гр
Y Ip I
X
, -H
4=e a
p dx
Y P
|p | dx \ i
Y\p\
Получим:
u
l * f
- p. x
¦p | dx
Y\p\
J \Pldx+i
2 YI P\
для x <ia,
для д: > a,
т/ U'l'b'-i-f
2Y\P\
для x <C a.
для x <i a,
j T.f*to+iT j 4 J
i • n
p dx-x -
2 V
для д: > a,
272
ПРИЛОЖЕНИЯ
а
для л; < а,
X
X
1
а
для л; > а.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Целый ряд опытных данных (например, рассеяние тг-ме-зонов на протонах и
нейтронах) свидетельствуют о том, что протон и нейтрон могут взаимно
превращаться друг в друга. Это дает нам основание рассматривать протон и
нейтрон как одну частицу - нуклон, которая может находиться в двух
состояниях: или в протонном, или в нейтронном. Эти состояния различаются
значением зарядовой переменной: у протона заряд в единицах е равен 1 и у
нейтрона- 0. Тогда нуклон можно описывать волновой функцией, состоящей из
двух компонент, в соответствии с двумя значениями зарядовой переменной.
Эту функцию мы запишем как
Учитывая условие нормировки | |2-)- | |2 = 1, мы
возьмем:
Введем операторы, действующие на эти двухкомпонентные функции:
Легко проверить, что
Х+Ур т-7р '!'п'
VW( = '{y 1-'\п = 0'
ПРИЛОЖЕНИЙ
273
Из этих соотношений следует, что т+ есть оператор возникновения заряда,
т. е. он переводит нуклон из нейтронного состояния в протонное, и т_ есть
оператор исчезновения заряда.
Далее введем операторы:
Эги операторы тождественны с известными из теории спина матрицами Паули
и, следовательно, обладают такими же формальными свойствами, что и
последние. По аналогии с теорией спипа мы будем считать, что тж, ту, т,
суть операторы компонент вектора х в некотором трехмерном пространстве.
Это пространство называется изотопическим пространством, а вектор т -
вектором изотопического спина нуклона. Следует заметить, что понятие
изотопического пространства является вспомогательным, и оно не имеет
непосредственного физического смысла. Абсолютное значение вектора х равно
1/2, и два зарядовых состояния нуклона можно рассматривать как состояния
с разными значениями проекции изотопического спина на ось z в
изотопическом пространстве. При Zz ~ V2 имеем протон, при iz = -1/2
нейтрон. Заметим, что так как изотопическое пространство и изотопический
спин носят формальный характер, то непосредственный физический смысл
имеет не оператор тг, а так называемый оператор заряда:
я+., тгО.( -мезоны можно также рассматривать как одну частицу, которая
может существовать в трех зарядовых состояниях, соответствующих значениям
зарядовой переменной: 1, 0, -1. Волновая функция тт-мезона будет,
оче-
видно, трехкомпонентной в соответствии с тремя возможными
274
ПРИЛОЖЕНИЯ
зарядовыми состояниями
ср =
Учитывая условие нормировки, мы возьмем:
Можно ввести операторы возникновения и исчезновения заряда тс-мезона
т+
которые удовлетворяют соотношениям:
Т+ср+ = 0; Т+ср0 = ср+; 7+ср_ = ср0;
7'_ср+ = ср0; Т_(?0 = ср_; 7'_ср_ = 0.
Перейдем к операторам:
V2
Tx=^j={T+ + T_)
которые являются операторами компонент вектора изотопи_ ческого спина Т в
изотопическом пространстве. Абсолютное
ПРИЛОЖЕНИЯ
275
значение Т равно 1. Различные зарядовые состояния будут состояниями с
различными значениями проекции изотопического спина на ось г в
изотопическом пространстве. Заметим, что для тг-мезона оператор заряда Q
совпадает с оператором Г,
Q = тг.
Рассмотрим теперь изотопические свойства системы нуклон - мезон. Эту
систему мы будем характеризовать полным изотопическим моментом /
1=ч-\-Т
и его проекцией L на ось 2.
Имеющиеся сейчас опытные данные позволяют предполагать, что для системы
мезон-нуклон справедлива гипотеза изотопической инвариантности (зарядовой
независимости), т. е. гипотеза о независимости свойств системы от полного
заряда системы, если роль кулоновских сил мала. Математически это
требование можно выразить как инвариантность гамильтониана взаимодействия
относительно вращений в трехмерном изотопическом пространстве. Отсюда
непосредственно следует, что полный изотопический момент 1 и его проекция
/2 на ось 2 в системе мезон-нуклон сохраняются.
