Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
63. Атом водорода в состоянии с главным квантовым числом п = 2
находится во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.
Определить расщепление, предполагая, что поля сильные (энергия электрона
во внешнем электрическом и магнитном поле больше энергии тонкой
структуры).
§ 8. МОЛЕКУЛА
1. Получить уравнение Шредингера для двухатомной молекулы, считая
приближенно, что центр тяжести молекулы совпадает с центром тяжести ядер.
Для описания движения электронов воспользоваться подвижной системой
координат, связанной с ядрами. Спиновые эффекты не учитывать.
2. Решить предыдущую задачу, учитывая спиновые состояния электронов и
описывая эти состояния в подвижной системе координат т], ?.
3. При малых колебаниях ядер волновую функцию, двухатомной молекулы
можно приближенно представить в вид<?
МОЛЕКУЛА
41
произведения трех функций Фэл(?г' Ъ' 'i> CTi> р)> /(р)' (r)((r)> ?)• Первая
функция определяет движение электронов при закрепленных ядрах, вторая и
третья колебательные и вращательные состояния молекулы. Найти уравнения,
определяющие колебательные и вращательные части волновой функции
двухатомной молекулы.
4. Определить возможные термы двухатомных молекул N2, Br2, LiH, HBr,
CN, которые могут получиться при соединении атомов, находящихся в
нормальном состоянии.
5. Найти формулу, определяющую электронные термы при взаимодействии
атома гелия с атомом водорода при условии, что оба атома находятся в
основных состояниях.
6. Найти колебательный и вращательный спектр энергии двухатомной
молекулы, если считать, что ядра движутся в потенциальном поле вида
V(r) = -2 где р = ?.
7. Эффективный потенциал предыдущей задачи V (г)-\-
№
+ __К(К+1) вблизи минимума представить в виде потенциала осциллятора и
найти энергетические уровни малых колебаний.
8. Определить момент инерции и расстояние между ядрами в молекуле
H1C1S5, если разность частот двух соседних линий во вращательно-
колебательной (инфракрасной) полосе НЮ35 равна Дч=20,9 см~1.
Вычислить соответствующее Дч в спектре DC1.
9. Вычислить отношение разностей энергии между двумя первыми
вращательными и двумя первыми колебательными уровнями молекулы HF. Момент
инерции молекулы HF равен / = 1,35 • Ю-40г • см2 и частота колебаний
ДчКол. = 3987 см~:-.
10. Определить энергию диссоциации молекулы D2, если энергия
диссоциации и нулевая энергия колебания молекулы Н2 равняются 4,46 эв и
0,26 эв соответственно.
11. Для аппроксимации хода кривой потенциальной энергии двухатомной
молекулы часто употребляется функция
V = D( 1-е-2?')2; предложенная Морзе. Опреде-
лить энергетический спектр колебаний при К = 0.
12. Показать, что оператор квадрата полного момента количества движения
двухатомной молекулы может быть
42
ЗАДАЧИ
представлен в виде
*^2 = I iHTo 5g (sin Q 5б) + iPT ~ ^cosoj } + Mr.
13. Оси I, 7), С являются осями прямоугольной системы координат, жестко
связанной с вращающимся твердым телом. Найти вид операторов У?, Jv Ус
проекций на оси f], С момента количества движения твердого тела.
14. Доказать, что операторы Уе, У, подчиняются следующим правилам
коммутации:
¦А Л) -А) Л = >
А --
.Л .Л ./:./• ' ,
т. е. правила коммутации операторов компонент момента во вращающейся
системе координат отличаются от правил коммутации в неподвижной системе
лишь знаком в правой стороне написанных равенств.
16. В классической механике для случая Эйлера - Пуансо имеем следующие
уравнения:
Л% + (C - B)qr = 0,
В% + (А - С)гр = 0,
С%+(В-А)рд = 0
или
§+(F-r)Vs=° и т-д-
Показать, что в квантовой механике последние соотношения примут вид
S + t(b~p)mA + -U> = 0
16. Молекулы, имеющие две или несколько осей симметрии третьего или
более высокого порядка (например, СН4), представляют сферический волчок.
У таких молекул эллипсоид инерции вырождается в сферу А -В -С. Определить
уровни энергии сферического волчка.
МОЛЕКУЛА
43
17. Молекулы с осями симметрии порядка выше второго (например, S02,
NH3, СН3С1) и молекулы с более низкой симметрией или даже вовсе не
обладающие симметрией, но для которых два главных момента инерции
одинаковы, могут рассматриваться как симметрические волчки А = В Ф С.
Определить уровни энергии симметричного волчка.
18. Написать уравнение Шредингера для симметрического волчка.
19. Найти собственные функции оператора
]2 = ~{1шя{*а*т)+*т(^+
д2 \ 2 cos (r)
д'Ь2/ sin2 0 д? дф
20. Вычислить матричные элементы оператора Гамильтона для
асимметрического волчка.
21. Определить уровни энергии асимметрического волчка для У = 1.
22. Написать волновые функции асимметрического волчка для случая J - 1.
23. Основываясь на свойствах матриц Паули, показать, что даже при учете
взаимодействия спин - спин 22-термы двухатомной молекулы остаются
нерасщепленными.
24. Определить мультиплетное расщепление (r)Х-терма, относящегося к типу
связи Ь.
25. При приближенном решении уравнения Шредингера (см. задачу 3 § 8)
оператор
5^5 j ctg 9 (М1-М,М,-Ш,М,>+ А, "4 +2Л1Е |)
W
не принимался во внимание, поскольку диагональный элемент этого оператора
