Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
cos
- p dx------------
h J 4
a
При подстановке этого выражения в интеграл, определяющий Т, пределы
интегрирования можно ограничить классически доступной областью, так как
вне этой области экспоненциально убывает. Заменяя квадраты сильно
осциллирующих тригонометрических функций на их среднее значение ~ и
пренебрегая интегралом, содержащим осцилли-
(X
if, л
р dx-^
а
? \
j pdx-у), п
О /
- А1 Г
т= п
4ц J
¦ cos
, X \
:Tsm
юлучаем:
W (dp\2 Р + J
dx.
Условие
d% _ h dp_
dx ~~ P% dx
применимости квазиклассического приближения
1 означает, что второй член под знаком
интеграла мал по сравнению с первым, поэтому, воспользовавшись условием
квантования, находим: ь
* А"
Т
А Г А / 1 \
^ J pdx = -^{n + ^).
68 ответы и Решений
Постоянная Лп определяется из условия нормировки
^rf*^^2nJlcos2f-l J pdx - j\dx^^j^ у = 1.
а \ а / о
С другой стороны, дифференцируя условие квантования ъ ь
j pdx= J VW" - V0)dx =т:й(п+1)
а а
по п, получаем:
ь ь
йЕп Г dx dEn Г dx .
u -- -==r = jx -- - = 7ГЙ,
Г dn J /2(J.(?n-V) dn J p
откуда
Л 2 ___ _______.
т;Й dn
2 ______2(J. dEn
- rt
Выражение для средней кинетической энергии после подстановки последнего
равенства принимает вид
20. а) Т = -i- йш (" + у) ;
21. Из теоремы вириала следует:
27 =
откуда
Е = 2Л1т.
Подставляя в это соотношение значение средней кинети' ческой энергии
f=T §г("+1)
(см. предыдущую задачу), получаем уравнение
Е-
2 + v dE ( . 1 \
г^г("+т)'
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
69
решение которого имеет вид
2j
Е = const (/7 1 1 ^2+ч
(л + т)2
22. В качестве исходного уравнения возьмем условие квантования Бора
J/2,b\E - V{x)\ dx = itfi ^/г -|- ,
ж,
определяющее спектр, точнее /г(Е:), если задана потенциальная энергия
V(х). Поскольку по условию V {х) - четная функция
а
2 [/2jx[? - V{x)\ dx = r.b(n+±), (1)
о
где х2 = - х1 = а, Е = V(а).
Задача, таким образом, сводится к отысканию решения интегрального
уравнения (1), которое имеет вид *)
x(V) Ь Г dE
^ yv=E '
Fo dn
dE
где x(V) - функция, обратная V {х), а - рассматривается как функция Е;
Е0- начало отсчета энергии.
§ 2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
1. В области металла (л: < 0) общий вид волновой функции принадлежащей
собственному значению Е, следующий:
*) Настоящая задача тесно связана со следующей задачей классической
механики: дан период колебаний как функция энергии частицы, требуется
найти потенциальную энергию (см. Ландау и Пятигорский, "Механика",
Гостехиздат, 1940, где дано решение этой задачи)
70 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В области лг > 0 собственная функция имеет вид волны, бегущей из металла
<!>,. = aeikx, где к- Y%\XE
'11 . 1Д-. /V й
На границе металла волновые функции и и их производные должны
удовлетворять условию непрерывности
<М°) = 'М0)' а = Ь+с,
<1";1(0) = ф;(0)> ak = (b - c)x.
Отношение плотности потока отраженной волны к плотности потока падающей
дает коэффициент отражения
Ye+v0-Ye\ v\
'e + Vo+YeJ {Ye+Vo+Y^
Если энергия электрона ?' = 0, коэффициент отражения R0= 1 с возрастанием
энергии /?0 быстро уменьшается; при E^>V0
К
р ,-, 1L
16?а •
В другом предельном случае Е <^_V0
Для нормальных металлов 10 эв. При этом коэффициент отражения для
электронов с энергией Ё=0,1 эв
R0 = 0,67.
2. В уравнении Шредингера
*=° (1)
\ ' еа +1]
произведем подстановку
§ 2] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР 71
Для функции и(1) получим гипергеометрическое уравнение
? (1 - ?) и" + (1 - 2ika)(\ -?)"' - *\аЧ = 0 (*0 =
Решение уравнения (1), которое при лг->оо (?->0) является конечным и
асимптотически представляет бегущую волну ceikx, имеет вид
ф = cetkxF {i(ч - k) а, -l(v.-\-k)a, 1-2ika, -е °}
Для того чтобы найти коэффициент отражения, необходимо определить вид
волновой функции внутри металла (х -> - со):
_____ Г (1 - 2lka) Г (- 2ika) ¦ .
Г (- I (у. -(- k) а) Г (1 - i (k -(- х) а) '
, Г(1 - 2ika)V (2ika)
' С Г (/ (х - k) а) Г (1 + I (х - k) а)
Отсюда находим коэффициент отражения
Л" =
Г (2Ika) Г (- I (х + к) а) Г (1 - I (х -f к) а) Г (- 2ika) Г (I (-/. - к)
а) Г (1 -|- i (х - k) а)
sh3 r.a (х - k)
sh2 т. а (-л -(- 6)
При вычислении Ra надо воспользоваться следующими соотношениями:
Г (г + 1) = гГ(г),
Г(г)Г(1- г)
sm яz
Г (1х) = Г (- ix).
(х- действительное число). При а -"¦ 0 формула для коэффициента отражения
переходит в выражение для R0 в случае прямоугольной потенциальной стенки
(см. предыдущую задачу).
Легко убедиться, что имеет место неравенство Ra < R0, т. е. коэффициент
отражения в случае плавного изменения потенциала меньше, чем в случае
скачкообразного изменения. Для о = 1А, V^0 = 10 эв, Е - 0,1 эв находим Ra
- 0,235.
72 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3. Рассмотрим поток частиц с энергией Е < V0, движущихся слева
направо. В области III волновая функция представляет собой прошедшую
волну
'i'm - Ceikx, А =
В области / имеется как падающая, так и отраженная волны ^ = eikx -\-
Ae~ikx.
В области II общее решение уравнения Шредингера
имеет вид
фп = Вхехх ~\-В2е~
7 :
/2ix(F"-?)
h
Коэффициенты A, Bv В2, С определяются из условий непрерывности волновой
