Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Сборник задач по квантовой механике
Автор: Гольдман И.И.Другие авторы: Кривченков В.Д.
Издательство: М.: ГИТТЛ
Год издания: 1957
Страницы: 273
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
Скачать:
И.И.Гольдман, В.Д.Кривченков СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
М.: ГИТТЛ, 1957 Содержание
Предисловие 4
1. Одномерное движение. Спектр энергии и волновые функции 5
2. Прохождение через барьер 9
3. Перестановочные соотношения. Соотношение неопределенности. 14
Расплывание пакетов
4. Момент количества движения. Спин 18
5. Центрально-симметричное поле 26
6. Движение частицы в магнитном поле 28
7. Атом 32
8. Молекула 40
9. Рассеяние 45
Приложение I 268
Приложение II 272
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник состоит из задач по нерелятивистской квантовой механике, которые
решались на семинарах, или предлагались в качестве так называемых
"заданий" студентам
IV курса физического факультета МГУ. В сборник помещены задачи
различной трудности. Задачи, требующие проведения сравнительно больших
вычислений, предназначались главным образом для студентов,
специализирующихся по теоретической физике, основным учебным пособием
которых при изучении квантовой механики являлась книга Л. Д. Ландау и Е.
М. Лифшица "Квантовая механика".
Опыт преподавания показывает, что наибольшую трудность при изучении
представляет матричная сторона квантовой механики, поэтому при написании
данного сборника большое внимание уделялось задачам на составление
матрицы возмущения и ее диагонализацию, В сборнике сравнительно много
места уделено вспомогательным задачам на момент количества движения и
спин, поскольку без уяснения этих фундаментальных понятий нельзя говорить
о серьезном изучении квантовой механики.
Авторы считают своим долгом выразить благодарность аспиранту В. В.
Толмачеву, студентам А. Р. Френкину и В. Д. Кукину за помощь при
составлении сборника, а также редактору Е. Е. Жаботинскому за критические
замечания.
И. Гольдман, В. Кривченков
ЗАДАЧИ
§ 1. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СПЕКТР ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
1. Определить уровни энергии и нормированные волновые функции частицы,
находящейся в "потенциальном ящике". Потенциальная энергия частицы V = со
при х<0 и при л; >а,
V = 0 при 0 < х < а.
2. Показать, что для частицы, находящейся в "потенциальном ящике" (см.
предыдущую задачу), имеют место соотношения:
х = ±а, =
Доказать, что для больших значений п последний результат совпадает с
соответствующим классическим.
3. Определить распределение вероятностей различных значений импульса
для частицы в "потенциальном ящике",
находящейся в п-м энерге-
тическом состоянии. V 1X1
4. Определить уровни
энергии и волновые функ- 1/
ции частицы, находящейся V ! 1/
в несимметрической потен- 2
циальной яме (см. рис. 1).
Рассмотреть случай V, == V2-
5. Гамильтониан осцил-
ляг'ора равен D cl ?
,хю2}2 , " РИС. 1.
+ -2-. где р и х удовлетворяют перестановочному соотношению рх-хр -ih.
Для того чтобы избавиться в последующих вычислениях
6
ЗАДАЧИ
от h, [л, о), введем новые переменные Р и Q
Р = -^=Р, Q= л/~ (PQ-QP = - t), у н-йи) r h
а энергию Е будем выражать в единицах йш (Е = ейш).
Уравнение Шредингера для осциллятора в новых переменных
будет иметь вид
а) Используя перестановочное соотношение PQ-QP~ - /, показать, что
у (Рг + Q2) (Q ± /РУф =(erp/i)(Qzt /РУ* <|".
б) Определить нормированные волновые функции и уровни энергии
осциллятора.
в) Определить соотношения коммутации для оператора 1
a =^==-(Q + /P) и эрмитовски сопряженного ему оператора
а+ = _ (Q - IP). Выразить волновую функцию я-го возбу-
жденного состояния через волновую функцию основного состояния с помощью
оператора а.
г) Определить матричные элементы операторов Р и Q в энергетическом
представлении.
Указание. Рг -f- Q2 - 1 - (Р + iQ) (Р- IQ).
6. На основании результатов предыдущей задачи показать
непосредственным перемножением матриц, что для осциллятора, находящегося
в п энергетическом состоянии,
(Дх)2 = х2=~ (,1 + т) ; (Д/7>2 =Р2=-- Р-йо> (" + у)
'
7. Частица движется в потенциальном поле V(x)= -^-.
Определить вероятность нахождения частицы вне классических границ для
основного состояния.
8. Найти энергетические уровни частицы, движущейся в потенциальном
поле следующего вида:
V(x) = oo (х<0); V(x) = -^- (х>0).
9. Написать уравнение Шредингера для осциллятора в "р" представлении и
определить распределение вероятностей различных значений импульса.
§ 1]
СПЕКТР ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
10. Найти волновые функции и уровни энергии частицы в поле вида V {x) -
V0{^-{х > 0) (см. рис. 2) и по-
казать, что энергетический спектр совпадает со спектром осциллятора.
11. Определить уровни энергии для частицы, находящейся в потен-
Vo
циальном поле V = -рис. 3).
cha - а
(см.
Рис. 3.
12. Определить энергетические уровни и волновые функции частицы в поле
V = Vbctg2~^x (0 < х < с) (рис. 4),
произвести нормировку волновой функции основного состояния.
8
ЗАДАЧИ
Рассмотреть предельные случаи малых и больших значений К0.
13. Определить волновые функции заряженной частицы в однородном
полеК(л:; = -Fx.
14. Нап исать уравнение Шредингера в "р" представлении для частицы,
движущейся в периодическом потенциальном поле V (х) = K0cos&;t.
