Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
те - -|- р ->¦ 7Г° -|- tl.
27. Пучок и-мезонов рассеивается на неполяризованной мишени из
протонов, т. е. в мишени число протонов с Sz = 1/2 равно числу протонов с
Sz - - 1ji. Оказывается, что при рассеянии неполяризованные вначале
протоны поляризуются. Определить величину поляризации протонов, учитывая
только S- и Р-волны.
Ответы и решения
§ 1. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СПЕКТР ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
1.
3.
\а(р) |2 =
4 rflna
Й (р*а2 " ,\а
(Ж" Л2я3)
cos2^ C0S 2h
при п нечетном,
• ->Ра
Sln 2й ПРИ п четном-
fc2 H2<]j
Й2 й2ф . п 2^572 + ^-°
/)1 /У2<^
|^+(?-К2)ф=0 Вводя обозначения
" __ Y2^(Vi-E) "
(х < 0),
(0 < х < а), (х > а).
Y2lx(V2-E)
находим, что общее решение в каждой области имеет следующий вид:
ф = Л1е-^ж + 51ех'ж (х < 0),
ф = Ае-ю+Ве** (0 < л: < а),
ф = А2е~х*х + В2ех*х (х > а).
л *
52
ОТВЕТЫ ri РЕ ШЕНЙЙ
Рассмотрим дискретный спектр Е < V2¦ Тогда У-! И У.2 - действительные
величины. Полагая в области 0 < х < а х - ik, где k - действительно,
запишем решение в виде
ф = sin (A*-f- 8) (0 < х < а).
В силу конечности волновой функции Л1 = 0, В2 - 0-
d ^
Условие непрерывности ф и ~ удобнее записать как
1 ЛЬ
условие непрерывности логарифмической производной ^
y.t = k ctg 8,
- у2 = k ctg (ka 8).
Перепишем последние два условия, выразив и у2 через k
Y
bW
¦ 1 = ctg о,
1 = ctg(Aa-f- 8).
Поскольку ctg является периодической функцией с периодом тг, величину 8 и
Aa-f-8 можно представить в следующем виде:
hk~ , arc sin -f- n^x,
Рис. 18.
ka-\-b = - arc sin
bk
л[ЩГг %
¦ЛпТС.
Причем значения arc sin лежат в области от 0 до • Исключая 8, находим
трансцендентное уравнение для определения уровней энергий в дискретном
спектре
М ________М L УЩЩ.
ka = тt - arc sin •
- arc sin
k =
>0.
Y2Ц.К1 Y^V2 ' Й
Значения k, удовлетворяющие этому уравнению, удобно находить графически.
Эти значения определяются точками пересечения прямой у = ak и кривыми hk
. bk
У-
• mz -
-arc sin
-arc sin ¦
Y 2f^a
(см. рис. 18).
§ 1] ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 53
Рассмотрим симметричную потенциальную яму Vl=V2-V. Легко видеть, что в
этом случае при любых V и а всегда
имеется по крайней мере один уровень. Если 1,
то нетрудно найти значение единственного дискретного энергетического
уровня. Производя разложение те-2 arc sin у/~^
вряд, получим E - V - Число уровней при любых
значениях V и а будет равно N, где N находится из соотношения
N>YWa>N_L
Tin
б. б) Собственные значения оператора Н' всегда положительны. Поэтому
если 40 - волновая функция, соответствующая состоянию с минимальной
энергией, то
(Q + /P)'i0=0 или (¦^ + (3)фо = 0-Отсюда находим, что
_2! j
% = сое 2' ео = у •
Таким образом, энергия осциллятора равна еп = я- + у (">0),
а соответствующая волновая функция имеет вид
/ $ \п
**п== А {dQ~~Q) е 2 •
Нормировочную постоянную Ап определяем из условия
+ СО
~f (Q) dQ = 1 • Для основного состояния нормировочная
- СО
постоянная А0 равна
"у/" я
гЬ.
1
ГО - 4
е
V"
54 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Волновую функцию я-го состояния можно выразить через волновую функцию п-
1-го состояния следующим образом:
Фп"?) = С" (О -//*)<!>"_!"?),
где сп определяется из условия
cl f ICQ - tP)t"-1(Q)]*dQ=l.
Заменяя Р на -i-~ и интегрируя по частям, находим:
с2п f (Р2 + Q2 + 1) ^"-1 dQ = cl ¦ 2п = 1,
откуда сп = у= и
Чп = сп ~дф) '^"~1 ~
/ д \п ( д \п сп ' cn-i ¦ ¦ • ci ^qJ % = ^qj Vo*
Окончательно получаем:
¦ 1 1 Iп> д \п
'п~~ ^2^ p'-i 6
Полином степени п
9L / $ \п _21
Hn(Q) = e2 (<2-аУ " 2
называется полиномом Эрмита - Чебышева.
в)
сс+-с+с = 1; = -г=(а+)" ф0;
у п\
г)
(P+iQ)UA(P-tQ)lJ==2n-
Волновые функции выбраны нами действительными, поэтому матричные элементы
Q и iP = -~ будут тоже действительные
Т'
§ 1]
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
55
или, возвращаясь к прежним переменным, имеем:
7. Искомая вероятность
СО
i
е dy
w =
со
0,16.
j е yl dy
о
8. Волновая функция должна обращаться в нуль при х = 0. При х > 0 она
удовлетворяет дифференциальному уравнению обычного осциллятора. Нетрудно
видеть, что волновые функции осциллятора при нечетном п = 2Ле -1
обращаются в нуль при х - 0 и в области х'^-0 дают решение
рассматриваемой задачи. Следовательно,
10. Исследование поведения при лг->оо решения уравнения Шредингера
показывает, что ф имеет асимптотический вид 6-ехр(-$)' где \- новая
независимая переменная
9.
Ъа
При л: ->- 0 ф пропорциональна 5', где
/2^0 .2. ' Ъг, Л
56 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Делаем подстановку
ф = е-^Ч (О и получаем для и(Ч) следующее уравнение:
+ Ли'- Г-+- - = (1)
V L 2 4 2Д 1/%Ко J
Уравнение (1) есть уравнение для вырожденной гипергео-метрической функции
и общее его решение имеет вид
u(b) = c1F(a, - ч+у-
где через а обозначено выражение в квадратной скобке в уравнении (1).
Из требования ограниченности ф(0) вытекает
с2 = 0.
Кроме того, надо потребовать, чтобы волновая функция при х->-со убывала,
т. е. чтобы функция "(?) сводилась к полиномам. Этого можно достигнуть,
полагая а - - и (я = 0, 1,2, ...), откуда находим уровни энергии
