Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдман И.И. -> "Сборник задач по квантовой механике" -> 16

Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.

Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике — М.: ГИТТЛ, 1957. — 273 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpokvantovoymehaniki1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 56 >> Следующая

13. В рассматриваемом случае имеется только непрерывный энергетический
спектр и собственные функции невырождены.
Перейдем в уравнении Шредингера
№ ЛЦ г " . " , . п
-t^-^e+Fx^ = 0
от координатного представления к импульсному; получим:
62 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение этого уравнения, принадлежащее собственному значению Е, аЕ(р) -
се представляет собой волно-
вую функцию в импульсном представлении. Произведем нормировку функций
а(р) на 8 (Е- Е')\
f а*Е(р) аЕ, (р)dp = b(E - Е'),
/_(V) - V)'\
е hF dp = cc*2ithFb(E--Е'),
т. е.
сс*
откуда
1
У 2nhP
Волновая функция в координатном представлении
+ СО ," . 11
, / ч а 1 T~tuq л а [ (и* \ ,
ф (JC) =------е 3 du = -cos - - uq)du,
r 4 2л f P J 71 Yp J \3 7
Г -СО Г 0
<7 = (* + -J)a, a = (2^)A.
Этот интеграл можно выразить через функцию Эйри Ф (q):
СО
ф (?> = 7^ j cos (у + "?) <*". Ф (X) = -L= Ф (- q).
о '
14. Оператор Гамильтона при данном потенциале имеет
вид
Так как
ьн -
е дР а (р) = а (/>+ bh),
то уравнение Шредингера будет представлено в виде уравнения в конечных
разностях

1 Р2а (р) + у V0a (p + bh) + ~ Vaa (р - bh) = Еа (р).
§ i j одномерное Движение 63
15.
Ч-ОО
^ k4 (k) + ^ Vna (k + = Ea (k)
- oo
( +°° 2^ nix
л=|, =
^ -oo
16. Волновая функция в области ямы 0 < х < а имеет
вид
I "-г I -г V2[а?
о = Cje*iX -(- с2е~г1 , У-i =-j-,
а в области барьера -6 < х < О
<i = c3eiy-sX -f- cie~ix*x, х2 = --.
Так как i(x) = const • ф(х-(-/) (const равна по модулю единице, 1 - а-\-
Ь), то в области следующего барьера а < х <
< а-\- Ъ
^ _ gikl (Cjg^a (<(r) - 0 -|- с4е - **s ^).
Из требования непрерывности волновой функции и ее первой производной в
точках х = 0, х - а получаем четыре уравнения:
С1+ С2 = С3~Ь С4'
Cigtxia_|_ c2e-ixi° = eikl (c3e_ix"6 -f- с4е1чЬ),
*i (c'i - c2) =x2 (сз - Ci)'
Xj (Cje**1(r) - c2e~ix'a) = x2 (c3e~ix*b - с4в**аЬ)
Эта система имеет нетривиальное решение только тогда, когда
2 I 2 *1 + х2
cos kl = cos x.a • cos v.2b-------=----sin v.,a ¦ sin v.2b. (1)
ZXi7"2
Исследуем два случая:
а) Е < К0, '/2 - мнимая величина.
Введя обозначение х2 =/х, перепишем уравнение (1) в виде
2 2
*. -7,^
cos kl = cos • ch x6 -j-----------2^~T~ s^n xia ' (2)
64
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Таким образом, разрешенные зоны энергии определяются из соотношения
2 2 у. - х?
- 1 cos у.,а • ch xb Н----"-sin у,а • sh v.b sC 1 •
У,
Для выяснения общих закономерностей в расположении разрешенных зон
рассмотрим предельный случай
&^-b<Cl, a^>b, Е<С^0.
Введем обозначение ab = у. Тогда соотношение (2) приближенно будет иметь
вид
, sin ~/.ш .
cos ka = y-------(-cos^a. (3)
На рис. 19 изображена функция ^7 4-cos на оси
абсцисс отложены значения у^а. Дозволенные зоны энергии отмечены на оси
ула жирными линиями.
В каждой точке = пт: справа примыкает зона запрещенной энергии. Из
приведенного графика видно, что запрещенные зоны энергии с возрастанием
номера зоны делаются уже. Легко оценить ширину запрещенных зон. Левая
часть выражения (3) принимает значения (- 1)и, когда
§ 1]
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
65
что возможно при х1а = гетс и при у.ха = п~ -(- 2ср. Отсюда следует, что
ширина запрещенных зон энергии составляет 2ср. При больших значениях п
б) Е > V0. В этом случае энергетические зоны определяются из соотношения
17. Уровни энергии Еп определяются из правила квантования Бора
х1 и х2 - точки поворота, определяемые из условия р = О (при этом Еп < 0
для рассматриваемого случая дискретного спектра). Для вычисления
интеграла
дифференцируем обе части по Е. При этом производная от интеграла по
верхнему и нижнему пределам обращается в нуль, так как в точках х1 и х2
подкоренное выражение равно нулю.
Таким образом,
2?
X
Пп

X,
где
66 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
X
Заменой переменной sh -= 2 последний интеграл приводится к следующему
виду:
dl Г dz [ха
•- = и. а -====г = --¦ тт.
dE Г J /2[х[?(1 + г2) + 1/0] 2(х?
*1
Отсюда находим
/(?)== - 2[ха2? 7г -|- С.
Постоянная С определяется из того условия, что при Е = - VQ область
интегрирования стягивается в точку и
n-v о) = 0,
откуда
/ (?) = У 2^ (УП - /=?) *.
Таким образом, в квазиклассическом приближении уровни энергии
определяются следующим выражением:
h2
2 и.д2
0 = 0, 1,2,.. .). (2)
Число уровней N = -йш Отметим, что вычисление
уровней энергии с помощью правила квантования (1) является законным, если
число уровней велико, т. е.
2|j-oPVq
Й2
При выполнении этого условия выражение для уровней энергии (2) совпадает
с точной формулой для Еп, полученной в задаче 11, § 1.
18. а) Еп = (п-\- Йш (п = О, 1, 2, ...),
.____1т/ I I М12
2|л.д2
(ге=0, 1,2,.. .).
19. Среднее значение кинетической энергии в стационарном состоянии
(волновая функция предполагается вещественной)

Т -

1 Гф Гл^л2^
a J 'n dx* 'hi. J I dx j
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
67
В квазикл&сСическом приближении в классически доступной области (а < х <
Ь) волновая функция имеет вид
=-^cos
VP
откуда
d'\>n
Yp
dx
An sin
p dx---------
pdx TI
p = V^(En-V),
1 An dp
2 p!* dx
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed