Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
справедливо, если гамильтониан не зависит явно от времени и нет
магнитного поля
p=-f(Hr - rH).
Среднее значение р в состоянии >{i дискретного спектра
P = 'fj'Г Фг - fH) dx.
В силу самосопряженности Н
р = ^ | ¦ rb - <'/гН<Ь} di.
Так как для стационарного состояния
Щ = Е<Ь, H*f = Ef, окончательно получим:
р = 0.
9. Волновая функция '){х, t) свободной частицы определяется через 0)
следующим образом:
4оо
Нх' 0 = 7i J a(J,)(tm)Aii{px-^t)\dp'
- со .
где
+ СО
1 /" -i^-от
а(р)=--------тг 'М х,0)е я dx =
(2kTi)12 J
- СО
i (Ро-Р) &
<?(х)е h dx.
7 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
+ со f
(2пй)1/г
98
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Функция а(р) заметно отличается от нуля только при тех значениях р, для
которых выполнено соотношение
J Р°..Т7 Р1 8^; 1.
л
Так как при выполнении этого соотношения осциллирующий
г (Р,-Р)х
множитель е h мало изменяется при изменении х
в области
- О < X < --f• 8,
то t) можно приближенно представить в виде
h
Ра+-
'(х'0 7^ I (р) ехр ^ (рх
ИЛИ
Ро-
+4-
гхр(т(л>л_?<)1 Г
ФО' 0~-------^ | й(Р+Ро)Х
(2тсЙ)''2
х ехР {+т[р{*--у *)--%;*]}&¦
Из последнего соотношения следует, что волновая функция ,]j(x, f) будет
заметно отлична от нуля лишь тогда,
когда осциллирующий множитель ехр J-jjr t }
Й J .
мало изменяется при изменении р в пределах-------г- < р <
Следовательно, размер волнового пакета в момент t по порядку равен
^ ^ I Ttt
й*~°+2^-
10. Для решения задачи необходимо определить волновую функцию 6 (х, t),
удовлетворяющую уравнению Шредингера
= щ (1)
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 99
и при t - 0 принимающую заданное значение 4 (л:, 0). Если Н не зависит
явно от времени, уравнение (1) имеет решения
Е,
(2)
где tyn(x) - не зависящие от времени собственные функции оператора Н
%W = ?A(4
Найдем коэффициенты разложения 0) по системе функции ^"(х),
(х, 0) = 2"Л(*)> ап= Г О)'>О- 0)dx. и J
-г - t
Функция й удовлетворяет уравнению (1) и
П
при t - 0 совпадает с <}(x, 0).
Таким образом,
или
причем
'i (*, t) = 2 ап^п (х) е п
ф(*. t) = fot(l *)ф(5. 0)</е, (3)
Е
Ot(l х) = ^1<'/Ч^'Ь(х)е 1 А .
Итак, для решения поставленной задачи достаточно вычислить функцию Грина
Ot(k, х) и воспользоваться уравнением (3).
а) В случае свободного движения собственные функции
рт
ь (Г) = 1 3/ ¦ е ~, Ер = ^~
р (2яй)/з р 2ц
и соответствующая функция Грина
°'(р'г)- J J' 1 ^гехрНг Н-р)-Я) =
=(тнг)'/%'
7*
100 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Поскольку в соответствии с условиями задачи
*(г,0) = 7^7Гехр(
(ТО2)'
имеем:
2о2)
х ехР Ьй+пг+w(r" р)21 rfP'
откуда находим:
для плотности вероятности получаем:
1 f (-^)2 1
№'Жг>0 = К,Л ,
Из этого выражения видно, что центр тяжести пакета движется со скоростью
Размер пакета bt, вначале рав-
ный по порядку величины 8, увеличивается с течением времени по закону
j , Tflfl
но вид распределения по г остается по-прежнему гауссовским. Оценим время
х, в течение которого размеры пакета изменяются на величину порядка
первоначального размера пакета
?>2|А
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 101
При линейные размеры пакета увеличиваются про-
порционально времени
bt-At.
1 fj.0
Рассмотрим несколько конкретных примеров.
Для электрона, локализованного вначале в области 8-10~ см х имеет порядок
10_16сел:. Для "классической" частицы (j.= l г 8=10'~б см находим х =
1017 сек -
- 3 млрд. лет.
б) Волновые функции при одномерном движении частицы в однородном поле
V = - Fx имеют вид (см. задачу 13 § 1)
. / U3 \
'ЫЛГ) = Л j е 3 du> ч = [х+т)а'
- со
где
/ 2уР \У-
А :
V ) 2%Yf'
Вычислим функцию Грина
+ со . Et
Ot(S,*)= f dEe~'~ritEms{x) =
- со
+ 0° . Et +ю . / v3 \ . / и3 \
= f dEe-t^-ffdudve-'(-v'>)+'(T~'")i
- CO -CO
где
и , E\
a
Ч-(84|),
Произведем сначала интегрирование по Е
102 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Воспользовавшись свойствами 8-функции, произведем интегрирование по v и
приведем выражение в экспоненте к виду, удобному для последующего
интегрирования по и:
+ 0О
°f(S. = А2 / da exP {- aF X
- СО
. . Г , Ft , аЩ , ,Л2 I ( Ft \з ,
X {и + 2ah + 2Ft (Х 12 \ ah ) +
+t-f(x+^+w(x-^2)-
Окончательно для функции Грина получаем:
> ( I I Ft \3 ,
+ж<х+ъ+ш<х-ъ'}-
При F ->• 0, как и следовало ожидать, это выражение переходит в функцию
Грина для свободного одномерного движения. С помощью выражения (3) можно
определить изменение во времени волновой функции, заданной при t - 0
ссй ipux
ф (х, °) = -е~~*Е!Г+~1Г.
(тго^) /4
В результате вычислений получаем:
*(х'() = 1-( 1 йФ~\)У. ехр {--1 ~|S)+
H1+^)l i 252(1+^)
+т<л+"^-т
о )
В общем случае трехмерного движения в одномерном поле с начальной
волновой функцией
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 103
получаем:
Н'+даг' \
о J
Из этого выражения следует, что распределение плотности вероятности
сохраняет гауссовский вид, а центр тяжести пакета движется согласно
законам классической механики равномерно-ускоренно. Изменение размера
пакета с течением времени происходит так же, как и в отсутствии поля (см.
предыдущий пункт).
в) Собственные функции уравнения Шредингера
