Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
потому что как функция времени, удовлетворяет классическому уравнению
движения осциллятора под действием возмущающей силы
[4+[мй2?=/(0.
Если ввести еще новую функцию % следующим образом
ср =^ехр J Ldt| , то для функции % получим уравнение,
совпадающее с уравнением движения свободного осциллятора
<?/ й2 (?3х .
т ¦- =------------г Н-------у.
dt 2fx дх\ 2
Таким образом, волновую функцию осциллятора, подверженного действию
возмущающей силы, можно представить в виде
f ¦ г V
6(х, 0 = xU-S(0. t}exp<^i(x- t) + jr] Ldty.
I о j
14. Будем искать решение уравнения Шредингера
dt ~~ 2ц дх2^ 2 V' *¦''
в виде
ty(x, t) - f G(x, t\ х', т)й(лЛ i)dx'.
Легко показать, что функция Грина G(x, t; х', т) должна удовлетворять
уравнению (1) и начальному условию
litn С/(х, t; х', х) - Ъ(х - л;'). (2)
t -> т + О
110 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Попытаемся удовлетворить этим двум условиям, полагая G(x, t\ х', т)~exp
{^г-[а(О*2+ 26(0* +с(*)]}• (3)
Подставляя (3)в(1), получаем уравнения, определяющие а, Ь, с
1 da аа 2, ч
(t)'
db а
(4)
dt |J.
dc ___ ^ a №
dt jj. jj.
Решение системы уравнений (4) имеет вид
t
e = c = ih\nZ - jj b2dt, (5)
где Z есть решение уравнения
Z= -u>2(/)Z.
Попытаемся подбором постоянных интеграции удовлетворить начальному
условию (2). С этой целью возьмем одно из возможных выражений для 8-
функции
3 {х _ *') = 1ш 2к1й*_^ ехр ( (* - x'f } (6)
(см. задачу 10 а) § 3).
Для того чтобы выражение (3) переходило при t- в (6), необходимо и
достаточно, чтобы
Z = 0, Z = 1 при t = т,
° Z '
с = ih In Z -f- (ал;'2 4^-,
где Y-решение уравнения Y - - w2(t)Y, удовлетворяющее начальным условиям
У=1, К = 0 при / = т.
Заметим, что так как ZY-KZ=1, то
У_
Z
Г_л
J za-
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 111
Таким образом, для функции Грина поставленной задачи получаем выражение
следующего вида:
G (х, t\ х', т) = j/~ 2^2 ехР {-ЩЖ ^х* 2хх' +Yx'}\-В случае, когда ш =
const, имеем:
Z=-^-sinu)(^ - т), У -с osoi(i - т),
и функция Грина в этом случае равна G(x, t\ х', т) =
= ^2т sirTI (t - ,) еХР I 2Й МпГ" - г) (C0S м У-Т> -
- 2хх' -(- cos a) (t - т) л:'2)}.
16.
|<Н*, t) |2 = -, 1 X
У2л / 9 . а-Щ2 .
у COS2 otf -f- -^-а- Sin2
X, ".."f а2(х- Qcos И + о))2)
X ехр ,-----------' I '
( COS2 lot -j--sin2 <ot j
где
x0+-^ = Qe-is.
u 1 JJ.CO ^
В случае, когда a = j/~^, получается результат задачи 10 в) § 3.
16.
О (х, t\ х', т) ==
= / 2^еХр{ш[*(Х--У2-2(х-$х'+?х'2\ +
X J
В этом выражении % удовлетворяет уравнению: - - |аш2Е+
и начальным условиям Цт) = 0, ?(т) = 0, a L - функция Лагранжа, равная L
= ^-i2--^-?2-|-Д.
112
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
17. Вероятность перехода из состояния п в состояние т дается
соотношением (вычисления будем проводить в системе единиц h= 1, [i=l,
и>=1)
Pmn(t, 0)=|Gmn(f, 0) |2, (1)
где
Gmn(t' °) = // *1>m(x)G(x, t\ х', 0)^п(х') dx dx'.
При помощи производящей функции
СО ------
ехр[-!(2,2 + *2-4,*)) = 2/ T/^!2i zn<\n(x)
П = 0
построим функцию G(u, v)
G(u, v) == J J exp | - -^(2v2-\-x2- 4nx)-
- ~ (2u2 x'2 - 4их') J G {x, t\ x', 0) dx dx' =
CO CO ______
= S 5"^°)- (2)
n\ m\
m = 0 n=0
Из выражения (2) следует, что величины 0), квадраты
модулей которых определяют вероятности переходов,являются
/
с точностью до множителя у ¦¦¦ коэффициентами в раз-
I. j.
ложении G(u, v) в ряд по степеням и, v.
Вычислим G(u, v); с этой целью в (2) подставим выражение для функции
Грина G (см. задачу 16 § 3). Подставляя, получим:
i *
0{и, г,) = _^_ехр|/J Ldt~i^i^^2-u2-v2)x
х j J6Xp|-\[{х~^)х2+Чхх'+
+ [^~y) x,2-2(2v-s + A) x - 2 (2u + -J *']} dx dx'.
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 113
В случае ш = const ?, Z, Y имеют вид t
i(t) = j sin(t- t')f(t')dt', Z = s\nt, Y=cost.
о
При вычислении интеграла воспользуемся формулой
-1-СО.
J J dx dy exp j - -i (ax2 -)- 2bxy -)- cy2 - 2px - 2qy) J =
- CO
- 2тс г у p / aq2 ~2bP4 + °P2 \ Yac-Ь* \ 2 (ac -ft) j
В результате простых вычислений получим следующий вид функции G(a, v):
__ JV
G(a, v) = Y к eF(t)e 2 exp j--------av-\-Au-\-Bv^.
Здесь
t
A = i Je~irf (tr)dt', В - e~HA, 2w = \A \ ¦ \ B \ = -J- J-2,
о
a F(t)-некоторая действительная функция времени.
Для того чтобы разложить G(u, v) в степенной ряд, воспользуемся
соотношением
СО
expj"+p-J)= 2 C(m,n\w)~^,
т, 71 = 0
где
mitt (т, п)
с(т,п |"0= 2
1 = 0
Производя разложение, получим:
w
G(u, v) - Y к elF(-i}e 2 ^ с (т, n\w) . (3)
Ш, П -О
Q 4av 17ЛЛ И И rnnnw.u D П
114
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЙ
Из соотношения (2) и (3) следует, что
W
р 2.АпЯт
Omn(t, о )==--=== с (т, n\w)etF<-iK
У 2 п+т-т1 п\ а искомая вероятность перехода равна
_ p-W.WW+n
Ртп((> °) =------^--------{с(т, n\w)Y.
В частном случае п =О вероятность перехода имеет вид
PmoV' °) =--------------> так как с(т, 0[ву)=1.
После того как вероятность перехода вычислена, мы можем определить
средние значения энергии и квадрата энергии осциллятора в момент времени
t.
Средние значения определяются соотношением
СО
?= pmn(t' 0) • (т + у)>
т - 0 со
т-0
С целью вычисления подобного рода сумм рассмотрим выражение
