Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
/ а \т
(1 - (r)) е" = Ф(т. "I1(r))-
Легко показать, что
СО
Ф (т, а | w) = ^ - с (т, п\ w).
71 = 0
Из равенства
СО
o - w. тт
2j-------у---Ф (т, а | w) Ф (т, [31 w) = eaf/w
т = 0
вытекает, что
ио
?- W . ^Л)7П
2j-------f--с (т, n\w) ¦ с (т, п \ w) - ьпп>п\ w~n,
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 115
откуда непосредственно следует физически очевидное соотношение
СО
V р - 1
1 тп - 1 *
т - О
Рассмотрим равенство
СО
2 т ~-т(tm) Ф(/я, а|те>) Ф(т, fi | та) = |та-a-?+~;} e^w,
"js о
дифференцируя его правую и левую части по а л раз, а по р и раз и полагая
затем а = 0, ,3 = 0, имеем:
СО
2 mPmn = n-\-w.
т = о
Таким образом, среднее значение энергии осциллятора в момент времени t
равно E = En-\-w. Здесь w есть работа силы f(t) за промежуток времени t
t t =- J /(О Ё Л - [(? + ОI л =
О О
= -j(52+52)t=t -|(52+52W
Аналогичным образом находим:
?2 = 2та?".
20. a) =
б) л: (Л = л: cos -------
' w ,аш дх
21. <Щ = (д^2 +1 [т (Дх) + (Дх) (Д;?)]о + (-Щ
Замечание. Из приведенного соотношения легко определить момент времени т,
в который величина (Дх)2 имеет минимальное значение. Функция (Дх)2
является симметричной функцией относительно точки х. В том случае, когда
волновая функция в момент времени t = О имеет вид
116
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
гррх
(х) = ср (х) е h (с?(х)- действительная функция) -с = 0
(см. задачу 10 а) § 3).
+ оо
22. .) (4^ = <Д^.0 + ^? / {?)'"*.
- ОО
+ СО
б) (Дх)2 = (Дх)2=0 • cos2 о it + ^ j (|j)2 sin2 Ы dx.
- CO
§ 4. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН.
1. Как известно, при бесконечно малом повороте системы координат
волновая функция преобразуется следующим образом:
ф'(г)={1+М"/)ф(г). (1)
Здесь dct - вектор, направленный вдоль оси вращения и по
величине равный углу поворота, а I-оператор орбиталь-
ного момента количества движения.
Рассмотрим сперва поворот относительно оси z па угол da. При таком
вращении имеем:
У (г, 0, ср) = .Нл О, ?+ rfa) = *(/-. fJ> + (2>
Сравнивая (2) с (1), получаем:
Г ¦ d - 1 д<? '
Для того чтобы получить вид оператора 1Х в сферических координатах,
совершим поворот относительно оси х.
Тогда
У {Г, 0, Ср) = 6(Г, O + rfO, Ср-[-??Ср) =
1+(?^+S^)rfal''(r'0> ^
откуда следует, что
j __ ,/dQ д , dy д \
1х~''
о
Вычислим - и , da d a
§ 4] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН 117
Легко видеть, что
2' - 2 =-у da.,
у' - у = z da,
и так как z' = rcos0, у' - г sin 0 sin ср, то имеем:
М . dy , 0
- = - sines, - =- ctgfO-COSCP, da 'da s
следовательно,
= г (sin cp ^ + ctg0 • costp^).
Поступая аналогично, получим:
'lv = /(cos cp щ ctg 0 • sin cp A).
6.
L = lx COS (xzf) -(- ly cos (yzr) -(- lz cos (zzr).
7. Преобразование можно записать в матричной форме
fi / fi gi(>V+?) cos2 -, -=ei'?sin 6,- ?~*(lV-'P)sin2 - 2/2 2 Ух 1
у' ' п
-4=eilVsin0, cos 6, -e_ilV sinQ, f2 У 2 У* = У'ш
- sin2 -, -e-itPsin0 , g_iN'+'P)cos2-2 У 2 2 Уи -i К-1 .
8. Пользуясь результатом предыдущей задачи, получаем в случае М = 1:
w(-\~ 1) = cos4y, w (0) = у sin2 6, w(-l) = sin4y,
для M - 0:
w (-(- 1) = у sin2 0, та (0) = cos2 0, w(-1) = у sin2 6 и, наконец, в
случае M - -1:
w (-(- 1) = sin4 -, w (0) = у sin2 0, w (-(- 1) = cos4y.
9.
w t) = cos2 T ' w{- y)==sin2y-
Среднее значение проекции спина равно ycos0.
118
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
10. Воспользуемся матрицей преобразования компонент спиновой функции
при повороте координатных осей. Эта матрица имеет вид
/ 4-('c + <V) 0 . ^-(т-ф)
cos^
\
Vе
•0Р--Ф)
sin •
• (?+ф)
COS тг
2/
С помощью этой матрицы находим спиновую функцию в новой системе координат
.' ^-(т+Ф)+"" 0
'h = e cos^
, / . -4-((r)-ф)+*" .
^2 - ie г sin -
COS 0-
COS о
. -5г(?-ФИ-i? .0 . Л
te- sin у ¦ sin о,
-г (т+Ф)+"Э 0 . Л
-е ^ cos у • sin о.
Найдем вероятность того, чго спин направлен вдоль оси г': wt - $1*^1 =
cos2 j ¦ cos2 3 -|- sin2 y • sin2 S -|-
-(-i- sin G ¦ sin 28 • sin (>{i -f- a - P).
Из этой формулы следует, чго вероятность значения проекции спина вдоль
произвольного направления зависит только от разности а - [3 и не зависит
от а и (3 в отдельности.
11. Направление спина определяется углами
26, Ф = |--И
-а.
12. Да, можно. В случае смешанного ансамбля, как бы ни было направлено
неоднородное магнитное поле, всегда будет иметь место расщепление на два
пучка. В случае чистого ансамбля соответствующим расположением прибора
можно добиться исчезновения одного пучка.
16. При бесконечно малом повороте относительно оси х на угол dct.
компоненты спиновой функции изменяются согласно выражению
/,т'1 \ /7'
(1)
W
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
119
где
Выражение (1) эквивалентно трем дифференциальным уравнениям
L-u.
d'l)_
' da
/2 Vo'
из решения которых легко получить матрицу преобразования, имеющую вид
cos^ -
-7= sin а cos а
Y 2
¦ sir^
г
: Sin Я
- Sin11
-= Sin я /2
cos2 а
2/2 2
Аналогично получается матрица преобразования при повороте относительно
оси z на угол а
eia 0 0
0 0 0
.0 0 e
В качестве углов, характеризующих поворот, возьмем углы Эйлера 6, Ь, ср.
Тогда для того, чтобы найти матрицу искомого преобразования, надо
