Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
78
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЙ
^2 _______________
Здесь <р(у)= j j/~ 1 --j---------------\d\, пределы Интеграции %v \2
5,
определяются из условия обращения в нуль подкоренного
4 ,--I ? 13/а
выражения. Вводя обозначение k0 =--= 2(jJ-J-, получим
О Г
D = М.
Отметим, что коэффициент прохождения без учета электрического изображения
(у - 0) D = е~к° (см. задачу 6). Значения у (у) приведены в таблице 2.
Влияние силы электрического изображения на коэффициент прохождения через
потенциальный барьер можно уяснить из данных таблицы 1
Таблица 2
У 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
<Р (у) 1,000 0,951 0,904 0,849 0,781 0,696 0,603 0,494 0,345 0,000
8. Волновая функция имеет следующий вид: фг = A sin kx 0 < х < а,
В^ех -|- В2@~, а ^ х ^ а ~|~ Ь,
tbuj = С sin k (2й -j- b - х), а -j- b х <^ 2а -|- Ь,
здесь
.. Y 2MV'o-f)
R - h ' * - й
Условия непрерывности волновой функции и ее производной приводят к
следующим соотношениям:
A sin ka = В1еш-{- B2e~va,
Ak cos /га = у. (В^(tm) - В2е~га),
Вхех (а+ь) -|- В2е~х <а+ь) = С sin ka, x(jВ1е''(а+г>) - В2е~х <а+!>)) = -
Ck cos ka.
§ 2] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ВАРЬЕР
Исключая из этих уравнений Вх и В2, находим: (- tgka -f- 1^Ае*ъ = (j tgka
- ljc,
(j tg 1)^e"''b==(|-t& kaAr l)C-Из условия обращения в нуль детерминанта
79
(т l)e
(^tg ka-\)e
-xb
-{т^ка-х)
-(jtg ka-f-l)
получаем:
(±tgka-{-l)e'b = ±(jtg
ka - 1
)¦
Это уравнение определяет уровни энергии. Воспользовавшись неравенством
уЬ^> 1,
последнее уравнение можно приближенно представить в следующем виде:
- -zjz2 -в-
% X
tg ka:
- У.Ь
Правая часть равенства представляет собою малую величину. В нулевом
приближении получаем (k<^v.):
2м.аа
и ________F(0) _ '
°~~а' п ~ '
•- значения энергии для частицы в потенциальном ящике (см. задачу 1 § 1).
В следующем приближении
р(°)
i^n
_ J^L -ау-о ~
2 ?<°>
2-°-е-^ь
а.%0
р(°)
Л II
i:4----------е
а% о
Первые два члена Е
(!) .
7(0)
(п = 1, 2, 3, ...),
У2р. (У0-Е^) . h
не зависят от b и дают
2Е{°)
а>. о
приближенные значения уровней энергии для частицы в потенциальной яме,
изображенной на рис. 20 (Ъ -*¦ оо).
80 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В этом приближении уровни двукратно вырождены; это соответствует
возможности нахождения частицы как в области /, так и в области III. Учет
конечности Ь, т. е.
возможности прохождения частицы через потенциальный барьер, приводит к
расщеплению уровней. Это расщепление экспоненциально мало. Найдем в
рассматриваемом приближении коэффициенты A, Bv В.г и С. Нижнему уровню
Р (°)
F~ - F(1)___________4 -IL e-*J>
Рис. 20. n " аЧ
соответствуют такие коэффициенты
5i = (-
С = А,
В, = (- И""1 *2е-*Лб+о) А, 14 "о
В9 = (- 1 )п~г ^ е%-а А.
v-n
J2
Верхнему уровню
^=^+4
р( о)
L-. у,
ач
соответствуют коэффициенты
В - - (-\)п-1Ье-ъ(а+ь) А,
С - - А,
В2 = (- 1
Значение Л, определяемое из условия нормировки, равно
-^ (при вычислении нормировочного интеграла долей, вно-У а
симой областью //, можно пренебречь).
Таким образом, нижнему уровню соответствует волновая функция
= 4= sin kx,
Y а
6П =(---- If'1 Л-h [ е-гЛх-а)^ e-%i{a + b-x, j(
Y at-о
6Ш = -sin k (2a -\-b - x).
Y a
§ 2] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР 81
Соответственно для верхнего уровня находим:
6i = -7= sin kx,
Y a
= (_ I)""1-!-*" { е-М*-а)_ у а 7-о = sin k (2а -\-b - х). у а g-X0
(0+6-
, <Р(Х)
П=1
у2а+Ъ х
п*ч
и \f " V ' Ъя+Ь X
Антисимметричные волновые функции Г верхний подуровень j
Рис. 21.
На рис. 21 приведены графики волновых функций для n= 1 и и = 4.
(3 Ззк. 1750. И. И, Гольдман, В. Д. Крнвченкоа
82
ОТВЕТЫ Й РЕШЕНИЯ
9. Для волновой функции в области х <-b имеем:
-ь
7 = -== е х
У\р\
(решение на бесконечности должно обращаться в нуль). В области b < х < -
а
i> - ~=e 4 е ~ь -|-%=е 4 е ~ь
У р у р
- а -а
, Т /*** -т/**(r)
= -е 4 е ~ь е -1' -|-
1 Р
* J pdx т/
z1 t
+75е **
В области -a<jc<-|-a
-а X
.iJLT S рах(~{Т
6 = се 4 е j-- - е ~а -)-
2 У\Р\
X
/т I /
g -а _|_
V771 J
-а от
i JL "Г -Т J
-I- ce 4 e ~b { --------------=-e ~a -I-
bV[P\
X
li?l dx
e
У\Р\
•fa
'i т/'
- a
/ , " i J i J ipH.,
sin у j p dx e ~a e ж -f-
УЫ 1й_-6
§ 2] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР 83
-{-О; + а
2с / ! / \ Т / I*1** -Т J
Н-----^=cos т \е -~а е х
* \р\ VI I
Для -f-а < л; <-f-? получаем аналогично:
\ -т J lpl<i*
-j ) pdxje X
-6
xU~YJe +" +?77г +" )+
+ а
~ j" \р\ dx
-f- 2ccos ( ~ I pdx ] e ~a X
I J
f <? 4 й " e
Xi-^-pr-e +a "
I У> J
-i-a
" (1 . /1 f" \
"Ч* +
+ o "j + b b
l г Г
+a | . + .
. у i_ J .1. J
-|-2cos^'j- j pdxje "a je +a г ^
+ a
-a
ell /if* \ "S' j '*'to+<T + ^lTsin(y )^Pdx\e -" +
V>\ 2
+ о + b + &
, +" , L J l,Wte-i?l 1 jpdx J
-)- 2cos [ J Pdx e ~a ) e +a e x
6*
84 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
И, наконец, продолжая это решение в область д:>Н-bt имеем:
4-а
1 /if \ /if \ "S-J,|4B|
2"Sin ? J pdx C0S 1 J Pdx\e ~a +
ь
Y\p\ | 2
+ 2cos|i J sin | pdx^ X
+ a x
Y J | p | to! --2- J | j) | й*
X e ~a \e b -f-
+ a
4-- YTf\
/ ! P \ "T J
sin21 у /? dx e _a -f-
4-а Ж
b
I 1 r \ iJ |,|й|
+ 4 cos2 prfxje
