Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
j - 1 + Va j = 1 - Va
/ + /n+T 1 3 +
2/+ 1 21 + 1
Проекция орб. м. т + Va Проекция спина - Va / _L 1 I - m-г ~2 / +
21+ 1 21+1
Ш = 1 + 1M = 2TfT' ss(J = l + 4J = 2Tri.
к и = l - V2) = ^ и = 1 - 72) = - 21^1 ¦
22. Собственные функции оператора проекции спина на направление 0, Ф
находим из соотношения
'а\ (а
(Од, sin 0 cos Ф -j- су sin 0 sin Ф -J-ascos в) ^ J = ^
откуда следует, что
asin0e*(r)-pcos0 = j3. (1)
Из (1) находим отношение у :
y = ctg|-e-i(r). (2)
С другой стороны, из явного вида функций & (/, j = 1-\- у,
и j = I---------rn^j находим:
Г,",_,Л". Ч) Я(tm)-1'2 (cos 8) .
ОТВЕТЫ Й РЕШЕНИЯ
где
~'+т + У.; 'т
УГт.
¦ ГП -|- Уд • / 1 /
при J - 1-------------- /2.
' + m + V2
Приравнивая (2) и (3), находим, что Ф = ср, т. е. направление спина в
данной точке пространства лежит в плоскости, проходящей через ось г и
данную точку. Угол в определяется из условия
в Pf-'/2(cose)
ct8' 1Г = С.
2 3 PJn+,;*(cos")
23. Оператор квадрата полного спина равен S!=s; + s|+2s,s, - ^+
+7к? ад",+(! -ас 7)л -°,),й -,)}•
индексы 1, 2 указывают номер частицы.
Определим собственные функции этого оператора сначала для случая, когда
проекция полного спина равна нулю
41 {*(;),(?),+*(?)I(i).i-4"(i)1(?)1+*(f)1(i)j-
Отсюда находим:
(X- 1)а - Ь = 0, -а + (Х-1)&с-0.
Для X имеем два значения Х=2 и Х=0.
При X = 2 а = Ь, а при X = 0 а - - Ь. Учитывая условия нормировки a2-\-b2
= 1, получаем собственные функции в виде
7flW.(^+(?).(i)J ''-2 (S=')'
Легко убедиться, что функции (д) (о) и (l) (l) тоже будут являться
собственными функциями оператора S2, при-
§ 4)
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН
127
чем в первом случае проекция спина на ось z равна 1, а во втором -1.
Найденные функции будут также собственными функциями оператора SjS2-
24. Волновая функция системы М) имеет вид суммы
произведений функций отдельных частиц
здесь нижний значок у волновых функций указывает значение проекции
момента.
Коэффициенты сj должны быть определены из условия
Волновые функции первой частицы удобно записать в виде
(1)
При такой записи волновых функций оператор будет иметь вид трехрядных
матриц
а для оператора J2 получим:
/2/;_ /(/+ 1)+2 /2/2+
где
/+ - 1Х Ну, /_ - 1Х - "7,
128
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Воспользовавшись свойствами операторов 1+ и 1_
-)- 1)(/--
l-'km - V(l-\- tn){l - т 4- 1)
находим, что из условия (1) следуют два уравнения:
[J(J+ 1) -1) - 2Л1] сх = ~\f2 Yif-Щ (1 - М+\)с0, [J(J+ 1)-/(/ + 1)+2М)
с_j = /2 /(; + ж+1)(/ - т)с0
(третье уравнение удовлетворяется тождественно).
Решая эти уравнения, получаем для c(J, Л1):
'^(/+1, М) с0(1^-\, М) с_!(/+1, Л1)>
сг{1, М) c0(l, М) М)
kc^I-I, М) с0(1-1, М) M)J
1Г(1+М)(1 + М + 1) 1Г(1 + М + 1)(1- -4 + 1) 1Г(1-Л1)(1-М + 1)
V 2(2i+i)(/+i) V (2(+i)(i+i) V 2(2/+1)<г+1)
\f (l + M)(l-M +1) М 1 f (l + M + l)(l-M)
~Y 2i (i+i) v Щ+If V 21 ('+')
y,T(l-M)(l-M + \) l/" (1 + M)(l - At) l/~(l + M)(l+M + l)
V 21 (214-11 V 1(21 + 1) V 2i (2(4-1)
21(21 + 1) Г 1(21+1) T 21(21 + 1)
В силу ортогональности этой матрицы обратная к ней совпадает с
транспонированной, и поэтому каждая из функций фсвыражается в виде
линейной
комбинации W^-j-l, ^г(^> ^(I-Ь М) с коэффи-
циентами, стоящими в столбцах этой матрицы.
29. ^ = ^=0,
?, = М, ta+ ft) •+ i "Г, - й) J'(J' + '()7+y+1>)'
30. -0,24.
31.-1,91.
32. a) 0,879, 6) 0,5, в) 0,689, г) 0,310.
33. Вес D волны равен 0,04.
34. а) -Хог2> б) Обратить внимание на различие
в знаке квадрупольного момента в состояниях 1Р1 и '3Р1.
39. Состояние с определенным значением J (J2 есть интеграл движения)
может быть сконструировано из состояний
ЦЕНТРАТЬНО-СИММЁТРИЧНОЁ ПОЛЕ
129
с L = J->/2, L = У -)- 1 /2. Преобразование инверсии (л; -- л;, у ->-у, z
->- z) оставляет неизменным оператор Гамильтона замкнутой системы
(четность является интегралом движения). Четность состояний с L= J-'/2 и
L = J-1-1/2 различна. Из этого вытекает, что в состоянии с заданным
значением J орбитальный момент L, соответствующий относительному движению
частиц, имеет вполне определенное значение.
40. С пин а-частицы и спин ядра В равен нулю, поэтому L-'орбитальный
момент относительного движения системы а-частицы плюс ядро-продукт равен
единице. Следовательно, эта система будет находиться в нечетном состоянии
(а-частица четна), тогда как исходное ядро было четным.
42. Не может.
§ 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
1. Заменой Rni = '~r уравнение для Rnl приводится
к виду
ЬЧ(1+ 1)
2 ,u.r-
Z",a = 0.
Это уравнение совпадает формально с уравнением Шредингера для одномерного
движения в области 0 г < со с эффективным потенциалом
Й2/(/+1)
Us^(r) = U (г)-
Поскольку '/.ni = rRni обращается при г = 0 в нуль, то можно принять, что
U = -f- со при /¦ < 0 для этой одномерной задачи.
2. В уравнение для у - Rr
+ ||-IE -и (г)] -У :
0
делаем подстановку
• А
у - Ае% п ,
где А и 5 - действительные функции.
9 Зак. 1750. И, И. Гольдман, В. Д. Кривченков
130
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Приравнивая нулю отдельно действительную и мнимую части уравнения,
