Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдман И.И. -> "Сборник задач по квантовой механике" -> 20

Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.

Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике — М.: ГИТТЛ, 1957. — 273 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpokvantovoymehaniki1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 56 >> Следующая

Для того чтобы решение при х -> -f- со стремилось
Ж
т / 1 р 1 **
к нулю, необходимо, чтобы коэффициент при е ь обращался в нуль, т. е.
+ а
,? \ J \P\dx
+
- 51п2 ^ J Pdx j
/if \ т J
-|-4cos2 -g- pdxje _a =0,
откуда
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР
85
Считая прозрачность барьера малой величиной, получаем условие для
определения уровней энергии
р ~т Г 1 рЫх
1 J pdx = T,(n + \)±±e -а
Обозначим через e[cJ уровни энергии отдельной потенциальной ямы
ь
у J -V) <** = *("+ у)-
Уровни энергии в двойной яме Еп = Е$-]~ &Еп найдем из полученного условия
квантования, разлагая ~\f2р(Еп- V) в ряд по АЕп и ограничиваясь линейным
членом по АЕп
+
г Г \P\dj0
A J, |А Г dx ,1 а
АЕ" ¦? I ;----------------- = -а
Ъ J V2lx(E<-V-V)
ИЛИ

" , \p\dx
д Е -+-bJLe -а
п -~2ъ
где со - циклическая частота классического движения в от-ft
дельной яме
Расщепление уровня Еп равно 2\&Еп\.

jr J \p\dx
10. Т = -
ц>
86
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
11. В области я-го потенциального барьера Ьп < х < ап+1 волновую функцию
запишем в виде
г/
I р 1 dx
tJ.
Р I dx
Y\p\
Dn е ьп
Y\p\
С 77 Ъ
: в П
У\р I
"п+1 га + 1
i_ ( | р | dx JL Г | р | <г.т
к J к J
6 Х +
°п -.е ьп
Y\p\
ап+1 ап+1
I г> | <г*
е х
продолжая эту функцию в область (п-\- 1)-го потенциального барьера Ьп+1 <
х < ап+2, будем иметь:

\ р \ dx
ап+1 -if lp'dx
п + 1
COS
j р dx
+
+ Е>пе
lb Т* 1
J- J IР i dx-
sin I J I pdx
+
u;
if
1 6 ,,
------e n+i
\ IP I
т/
I 2> ] (Za;
X
n + 1
ibt
tJ
I p I dx
X sin | | j p dx ] -f- 2Dne bn
a n+l
COS
71 +1
§ 2] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР 87
Введем обозначения
1 Г 1 г
, dx
'N-1
а3 а, IV
J \p\dx = j^\p\dx^ . .. =1 j |р|. *1 6,
6, 6" bN
^\pdx = ~ j pdx= ... =Jr j p dx - 3.
Тогда предыдущее выражение для ф в области -J- 1)-го барьера
преобразуется к виду
т f
- н J I Р 1
<])¦-=-^==е ьп +1 j^p е~т cos a -f- D"eT sin а j -f-
У I p I 1 ^ J
U'
p j d.c
---e bn+i {-Cne~~ sin a -j- 2Dnex cos a}
Y\p\
X X
~T / 1 P |<г'с ~h / 1 P 1 d:r'
g ;г+1 -j---------4-Er 6 n + 1
где
Y\p\ Y\p
с
Cn+1 - "j"e~T cos 0 ~h s'n 0 >
Dn+1 = - Cne_T sin a-(- 2D,"eTcos a.
Связь коэффициентов Cn+1, Dn+1 с Cn, Dn удобно представить в матричной
форме
(Сп+Л Ije-^cosa ех sin о \ 1Сп \ 1C,А
\Dn+J \-e~Tsina 2eTcosa) \Dn) \Dn)
Применяя соотношение (1) последовательно N раз, получим связь между Сдт,
и С0, D0:
1 N Iеn\ /у е-'cos a ex siri a \ fC0 \ NlCo\
\Dn J V - e~~ sin a 2eTcos oj \D0 j \D0 J
88
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Волновая функция стационарного состояния должна убывать как при я < av
так и при я > bи, поэтому надо потребовать, чтобы С0 = Dn = 0. Легко
видеть, что для этого должен обратиться в нуль элемент (AN)22. Условие
(Л-№)г2=0 определит энергетический спектр задачи. Чтобы вычислить этот
матричный элемент, рассмотрим матрицу
S = e-
,."=1+м + ^Л2+|л:!+... ...
3!
Как нетрудно убедиться непосредственно, матрица 5 удо влетворяет
уравнению
dS dt
AS
(2)
с начальным условием
5(0)= 1.
Запишем уравнение (2) более подробно
d / °п
di\S2l
Su S2 2
5
22
ИЛИ
I dt
__ s
I dt
aSn -(- PS21, §S21,
dS t2 dt
^=T512+552
Поскольку условие, определяющее спектр энергий, может быть записано в
виде
(An)22 =
dNS22
dtN
0,
достаточно рассмотреть вторую пару уравнений.
Полагая S12=felt, S22 = gext, получаем:
/X - af +
^ = т/+8^-
Значения X определятся из уравнения
ос - X р / 1 \
у §_______^ =0, X2 X ^2ет -("у e j cos о -(- 1 = 0,
§ 2] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР 89
которое дает два корня Хх и Х2. Ввиду того, что ХхХ2 = 1, можно Хх 2
представить в виде
) - р± in
1, 2 е >
где
cos и = е_Х) C0S
Если Xj^Xg, то решение, удовлетворяющее начальным условиям S12(0) = 0,
S22 (0) = 1, имеет вид
S12 = p(eM -
с - a) - (>.2 - а) №
022 -" ) > *
К1 -
Условие, определяющее энергетический спектр задачи, теперь запишется
следующим образом;
(а%2 = (^4г) = т-1- {(>-1 - a) Xf - (Х2 - a) Xf} = 0.
\ dr ) t=o h~K2
Подставим в это выражение значения
) - р ± %и
Л1, 2 - е
и пренебрежем в формуле, определяющей cos и, ?~т, что эквивалентно
предположению о малой величине проницаемости:
cos а ezcos а.
При этом предположении условие, определяющее уровни энергии, приобретает
простой вид
sin (N -)- 1) и_q
sin и
Это уравнение имеет следующие корни:
ПК
за исключением и = 0, it, 2-rt.
При этом cos и имеет N различных значений
90
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Более подробно
Cl g
6, -jr J I p | dx
cos i^-^pdx\=e 61 cos (n- 1, 2, . .., N).
~f \P\drc
Так как e 4i малая величина, то последнее соот-
ношение можно переписать в виде
а2
*1 ~ 1 р \dx
-i-j pdx = Tz(m + ^j-\-e ^ cosдГ^рТ (3)
ai
(m =0, 1, 2, . ..) (n = 1, 2, ... N).
Это есть условие для определения энергетических уровней
в поле V (х). Оно очень похоже иа условие квантования для
поля отдельной ямы. Из рассмотрения (3) можно заключить, что
энергетический спектр в поле V(х) представляет собой, грубо говоря,
энергетический спектр отдельной ямы, все уровни которого расщеплены на N
подуровней. Определим величину смещения ДЕт:
6, ь,
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed