Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
. // I U. О)** су . с I
-ЩГ*п+*Гх\ = Е"*п имеют следующий вид:
'i'п(х) = спе 2 Нп(ах),
где
а = (тТ' с2п=2^гу7/ ?" = й">("+т)-
Искомая волновая функция 6(x, t) согласно (2)
Е
-}(x,/)=2aAWe п *> (4)
П
где
+ СО
a, = v /н"(=,х)ехр|-а.<?^1 + ^_")^.
- оо
С целью вычисления ап воспользуемся выражением для производящей функции
полиномов Чебышева - Эрмита
? 2?яп (7,). (5)
п= 0
104 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
а Хп
Легко видеть, что -- является коэффициентом при -г-
Т1\
в разложении в ряд по X выражения
+ СО
/ ехр {- X2 + 2Xajc- ° ~Г- Х°Г ,+ WL-^}dx.
- СО
В результате вычисления получаем: ап = с "с (ах0 + X
Хехр{-^+!(а*0+-2г )Т
После подстановки этого выражения в (4) оказывается возможным произвести
суммирование по п, используя снова соотношение (5). В результате
вычисления, вводя обозначение
*о+
получаем;
ф (л;, t) = c exp |- [х-Qcos(W-)- 8)]2 - /jcQa2 sin (ш/1 -(- S) -
---IT" ° 4^ г ^ 8)- sin 2§]J.
В этом случае при движении не происходит расплывания волнового пакета.
Центр тяжести движется по-прежнему по законам классической механики,
совершая гармонические колебания с амплитудой Q и частотой со. Из
полученного выражения для следует также, что средний импульс в момент
времени t равен величине
Р (t) = tiQa2 sin (wt -f- 8),
т. e. классическому импульсу частицы в осцилляторе.
Выражение
ехр |---п=г+ ~4~ г ls^n ^+ 5)- sin 28]J
может быть записано как
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 105
11. Рассмотрим оператор
a (s) = es^ae~sL,
где s - вспомогательный параметр, и найдем дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет a(s)\
= Lee^ae~s^ - e3^ae~b^L - [La (s)].
Продифференцируем это уравнение еще раз
d2a (s) ds2
L.
da(s)
ds
¦]=[L[Lc(s)]].
iiV'd (5)
Легко видеть, что производная ¦ ¦ равна результату п
последовательных перестановок оператора L с оператором a(s).
Представив теперь оператор
ае~^ = а (1)
в виде ряда Тейлора
~/1\ л /л\ i da(0) . 1 d2a(0) .
fl(l) = fl(0)+-^i-+ir-5ir-+...
и выражая производные по s в точке s= 0 через последовательные
перестановки оператора L с а(0) - а, получаем доказательство соотношения,
приведенного в условии задачи.
12. Оператор Гамильтона
выразим через операторы а и а+ (см. задачу 5 § 1) Я=Йш {а+а+^-т^~~ (а + а
+ ) и будем искать решение уравнения Шредингера
1ЦЦ)=Щ{Г)
в виде
<]) (t) = с (0 е"~№ 'а+е$ <г> " ei ^ (- со).
106 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
При дифференцировании по t оператора, действующего на -со), необходимо
иметь в виду, что а и а+ некоммутативны:
аа+ - а+а = [а, а+] = 1.
Выражение для производной по времени
= 4-саа+е""+еР"еТ"т" +
+ ср е " +aepV"+" + ст "еТ"+") Ф (~ °о)
преобразуем так, чтобы оно имело вид
ф=Ое"+ер5ет5+аф(- оо),
где О - некоторый оператор. Рассмотрим сначала третий член в правой части
равенства, определяющего Замечая, что
[(а+)па] =- п(а+)п~1,
находим:
еаа+а = ^ 1 + &а+ + ^---^ а =
= (а - а) ^ 1 + аа+ + ^-1" ¦ • ¦) = (а - а) еаа т .
Поэтому третий член можем записать в виде
сЦа- a)e"Vva+a$(- со).
Аналогично преобразуем последний член
е " + е ^а+ае+" = с{ е"+ (а+а + ?а) ее+" =
= су(а+а-aa+-|-(3a - a3)eaa e^aeTa а.
Итак,
G = суа+а -)-с (a - ат)а+ + с (? Н" ?l) с - сТаР
и для того, чтобы удовлетворить уравнению Шредингера, мы должны
потребовать, чтобы
ihO - Н.
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 107
Сравнивая коэффициенты при операторах а+а, а, а+ и свободные члены,
получаем систему уравнений:
у = -т,
i+"*=7mm
ё-'ш?-ттт
7 = - г уН-а(3 -ш,3).
Решая эти уравнения с начальными условиями а(-оо) = 0, Р(-оо) = 0, |с(-
оо) [ = 1, находим: t
}fi - (' , . .
"(,) = W.
- СО
- со
If -
-г- ( 1 Г Г ^
С (t) = е 2 ехр { - ) dt'f(tr) е~^' j dt"f(t") j.
I - СЮ -СО J
Вероятность перехода из состояния 6(-оо) в я-е возбужденное состояние при
t = -\- оо
Wn==\m\№nij(t)dx = lim Icf^e(tm) /"ета а <^(-co)dx .
со'*' t->ool ^
Если начальное состояние было основным -оо) = 60, то поскольку а60 = 0,
легко находим:
ерае-'а а\ = 'Ь0.
Далее, так как нормированные волновые функции имеют вид
'^"=Ц7=:^0 (см. задачу 5 в) § 1), у п\
108
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Ввиду соотношений ортогональности / ф"фт dx = 8" лучаем:
по-
' ПО - !im Iе (О
t -> со
I a (t) Р*
л!
Из формул для a (t) и c(t) находим:
lim I a(t) I2 = -щ-
-j-cu j /00^'
lim | с (t) |2 = exp <
f
со
/(?) егш* dt
J
Таким образом, окончательно для lFn0 получаем распределение Пуассона:
где
2йм
-j-UO 1 /"
dt
а) Для f(t)=f0e ^ находим:
_ /2 2 аАа W------------5-
б) Для /00 =
fa
(4)'+1
,г2А-2
^ Уп
v = -тгу е-2шт.
2/?JJvtO
13. Уравнение Шредингера для осциллятора с учетом возмущающей силы
имеет вид
.. <?ф /)2 <Э2ф . -р.ш2^2
dt~~ дх* + 2 v f Wхч'
Введем новую координату хх = х - S (?), тогда
<Эф Й2 <Э2ф . 1
dt ' дхх 2<j. cUj 2
(ХО)2(Х1 + 02Ф-/(0(^ + 0^
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 109
Если положить
=ехр ? "л* о.
то для ср получим уравнение
ih 77 = "Т" Т^2 + ? tA0)2j?:i'P + -/)
<" 2ц oxj 2
где L-функция Лагранжа L = pi2--------------j fj.u>2?2-|-/(^) ?. В
последнем выражении член (ja? [аш2?- f)x^ равен нулю,
