Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
W) = |/7o('-)7o('-. 0^12 = |/ |<р(?)|2е""* '</я|2. (4)
о о
Таким образом, задача сводится к нахождению распределения по энергии
начального состояния |<р(?)|2.
Из уравнения (3) следует:
СО
?(?) = f y.o(r)/E(r)dr. (5)
о
ЦЕНТРАТЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ
141
В соответствии со сказанным, в качестве ул(г) можно принять собственную
функцию вспомогательной задачи с потенциалом, изображенным на рис. 26 при
г < гу
Хо </) = a sin k0г (ft? =
И при /¦>/"!
/ \ h "-2* (."-г,) 2 , 2 ,2
У.о(г) = -~ае > * ='/.0 -ft0-
*0
Значение k0 определяется условием
¦ и ко i *
sin"0/\ =---------L, cos k0r,= -,
*o "A0
лГ~ 2x
а нормировочная постоянная a -у \ -\-vr '''
Функции Х-б(г) в областях I, II и III были определены лишь с точностью до
общего постоянного множителя Л. Теперь надо выбрать А так, чтобы уыЕ(г)
были нормированы по шкале энергий. Асимптотический вид х?(г) определяется
значениями коэффициентов С+ и С_. Нормировка
/ XbWZb- (r)dr = b{E - E')
дает
|С*| = | с. 1=1/А.
Отсюда с помощью (2) можно определить зависимость Л от
I с+ | г/"
энергии. Раньше отмечалось, что отношение -= --==-- к .4 (Е) А (Е)
велико почти для всех значений энергии и мало лишь тогда,
когда Е близко к одному из квазиуровней. Поэтому о (Е)
Ь%
имеет один резкий максимум вблизи Е0 = . В области
других квазиуровней, хотя А(Е) и возрастает снова, но интеграл в (5)
будет близок к нулю вследствие почти полной ортогональности у_0(г) к
собственным функциям у^Е(г), относящимся к другим квазиуровням. Итак, в
выражении (4) для вероятности W (t) существенна область значений Е,
близких к Е0.
142
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
После этого предварительного рассмотрения приступим к вычислению (c)(?).
Прежде всего найдем зависимость А от Е. Из выражений (2) для С+ и
С_ следует:
с+ _ С*_ _ i В, (1 + i) '>'•-.< + I В_ (1 - i)"- .
Кроме того, В+ и 5_ выражаются через А:
В+ = ^sin kr{ -)- cos krr j,
B_ = ^sin cos krxJ.
Вблизи квазиуровня можно положить k - й0 = ДЛ и считать, что выполняются
неравенства
|А&|<^С&0 и | А* | <СУ- (6)
При этом главные члены в В+ и В__
5+= 4S'(1+^i)AA,
= - -Л^-.
*0
Предполагая, что e~~z 1, находим:
1с±1 = т?-^1+/^еХ('^''1)Х
х/ •ттк''""г,'',Т
и так как \С+\-^-^~ , получаем:
JL Ak%i е~х ^~г')
Теперь интеграл (5), определяющий о(Е), может быть легко вычислен, если
считать, что по-прежнему справедливы неравенства (6). Функция у_Е(г) в
области I и II мало отли-
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 143
чается от область III вообще не существенна для
нахождения ср (?), так как Хо(г) экспоненциально спадает при г > гх.
Таким образом,
СО
А (Е) Г 2 . . , А(Е) a J *о^dr = ~--
О
В результате простых преобразований находим
?!<?> = 5й '
Й2
(?-?0)2 + ^
где
fi2
¦E0 = n-k0\k
Г
.4
ъ0 л2х {г,-, ч
8 h
Выполняя интегрирование в (4), находим закон распада
W(t) = e~.
Вероятность того, что частица осталась в начальном состоянии внутри
барьера W(t), уменьшается в е раз через промежуток времени
X = - JL (____\ '2 е2х (\\уГ\
\(5U0\E(U0 - E)J О-
§ 6. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
1. В однородном магнитном поле электрон, рассматриваемый со-гласно
классической механике, движется по винтовой линии, ось которой направлена
вдоль магнитного поля. Движение в плоскости, перпендикулярной магнитному
полю, происходит с частотой, равной удвоенной частоте Лар-
мора (со = j . Рассмотрим движение волнового пакета на основании
квантовой механики. Уравнение Шредингера
144
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
для частицы в магнитном поле можно записать в следующем виде:
.. № 1 \Т|* | h { дФ (№\ . 1 о/9 I оч
>т-
fhW = -~ + T°V -d7-yw) + Y^-(Х-^У-)Ч.
Чтобы найти решение задачи, удобно перейти к вращающейся системе
координат
х = х' cos соt'-у' sin со/'; у - х' sin wt' -\-у' cos u>t', z = z', j
t = t', J
Ф- (x, y, z, t) = W'(x', y', z', t').
Тогда
д d , ( д d \ * / \
Удх)' ~
Уравнение Шредингера в новых переменных принимает следующую форму:
ih ж = - |г A/VfV + нг ^,2+-у/2)VfV-
Решение этого уравнения может быть получено разделением переменных х',
у', z'. Уравнение для функции o(z') описывает свободное движение вдоль
оси z. Решение уравнения, определяющее функцию ф (х, у, t), имеет вид
ф (X, у, 0=2 Апт1п (*' У,т (/ J f ".
Здесь х' и у' - функции координат х, у и времени, определяемые из (1), уп
- собственные функции гармонического осциллятора, Апт - коэффициенты,
подобранные так, чтобы выполнялось начальное условие. Это выражение для
ф(х, у, t) меняет лишь знак, если t возрастает на период классического
движения Т - - . Действительно, х' и у' при этом
(О ^ г
меняют знак и, учитывая свойство собственной функции осциллятора
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
145
получим:
= 2 Апт (- 1)"Хя (*' / т)(- Пт (/ /"у) X ^ g-i^t (n+m + l)g-tit (n+m+1)
_________ ф(дг, _у,
Таким образом, в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, волновой
пакет будет периодически изменять свою форму с периодом, равным периоду
классического движения частицы в магнитном поле. В направлении магнитного
поля пакет расплывается точно так же, как и для свободного движения.
