Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
В новых обозначениях ^ и будут иметь вид
'К = 'Woo = ae-°-rYm, ф2 = ф200 = ^1 _1(а-|_р) rje-P'T,
Приближенная волновая функция атома лития, находящегося в основном
состоянии, может быть представлена следующим образом:
'КО^+Ы 'М2)%(о2) 'МЗ)%(о3)
М1)'']- Ы 'Vi (2)^_ (<32) <W (3) -"]_ (03)
'т'гОН+Ы ^ (2) % (°2) ^2 (3)% (о3)
где %(т)=1> 71+("т) = 0' "ч-(4) = °*
В этом состоянии S - 1/2, M = lj2.
Оператор Гамильтона *) в данном случае имеет вид
//==2(-тА*-^} + ^-Ь^;+77г
ф = -?=
/3!
i = 1
Проведем вычисление энергии в состоянии Ф.
Кинетическая энергия электрона в состоянии Is равна
о
2 г2 dr - -i- a2.
*) В атомных единицах е = й = ц. = 1.
rZ'bf Fe-^r
Jt = -J - dx = Za2 j ---r2 dr =- Za,
166 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В состоянии 2s
¦Г = ._____________
2 б ' а2 - ар + р ¦
Энергия взаимодействия внутреннего электрона с ядром
1 2
I Z-'1'
1/1
О
внешнего электрона с ядром
Z% Zf a -28 = _____ (о случае лития Z - 3)
Энергия кулоновского взаимодействия внутренних электронов
Kll== I 1 7^ • I2 I I2 ^Х1 = ¦§¦"•
Энергия взаимодействия внутренних электронов с внешним
2К12 = 2 | | i-1 ^ (г,) |21 ^ (г2) |2 dx, dx2 =
= 9_______________________________________2а"_"4Р (За + ?)
(а + ^)2 (a + W"(aa_a? + pa) •
Энергия обменного взаимодействия двух электронов с па-
раллельными спинами
rldr, X
А = 2a2b2 | --j(a+P)r2
О
со
X | e-c+wr. Ji _^.(a + p)ri
ri dr! =
4a385
(a + p)5 (a3 - сф + pa)
Полагая [3 = ),a, получаем:
2^+7, = 7 = a2 ?1(X),
2(7! 2/(12- Л = -a.'p2(X),
? = a2cp1(X) -acp2(X).
§ 7] atom 167
Минимум энергии осуществляется при значениях а и X, удовлетворяющих
условиям
- = 0, - = 0
да ' дХ
или
2acpi (X) - ср2 (X) = 0, acpi (X) - "рг (X) = 0.
Исключая а, получаем:
ср' (X) 2?' (X)
----Уг = 0, X = 0,2846.
TiW 'PsW
Соответствующие значения а и [3 равны
a = 2,694, р = 0,767.
Подставляя найденные значения вариационных параметров в Е, получаем для
энергии нормального состояния атома лития значение
Е = - 7,414 ат. ед. или Е = - 200,8 эв.
Экспериментальное значение ^эвоп = - 202,54 эв. Применяя теорию
возмущений, т. е. полагая а = 3, [3=s/2, мы получим для энергии основного
состояния менее точное, чем при вариационном методе, значение Е = - 7,05
или в электрон-вольтах
? = - 190,84 эв.
17. Рассмотрим оператор кинетической энергии ядра Т. В системе центра
инерции
Р - 0'
где Р - импульс ядра, р^-импульсы электронов, Т имеет вид
ра _ (2 A-)2 V p2i | V PiPk
2 М 2 М Zl2 M'ZaM'
iy к
Поскольку отношение массы электрона к массе ядра m ^ л
Ж^1"ж
возмущений
^ 1-искомое смещение, можно вычислить по теории
АЕ = J <Ь*Ц dx.
168
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
причем ф - волновая функция электронов в поле бесконечно тяжелого
неподвижного ядра.
по теореме вириала равна энергии атома с обратным знаком. Таким образом,
Д? представляется в виде суммы двух членов
Рассмотрим более подробно Д?:2. Если в качестве ф взять произведение
волновых функций отдельных электронов, то член Д?2 обратился бы в нуль,
так как средний импульс электрона в связанном состоянии всегда равен
нулю. Однако, если должным образом симметризовать такую волновую функцию,
ДЕ2 будет отлично от нуля. Симметризованную собственную функцию атома
гелия запишем в виде
причем верхний знак относится к парагелию (полный спин S = 0), а нижний к
ортогелию (S=l).
Представляя это выражение в формулу для ДЕ2, получаем:
Матричный элемент импульса отличен от нуля, лишь когда Д/ = 0, dz 1 и,
таким образом, ДЕ2 обращается в нуль для состояний 1snd, 1snf и т. д.
Беря для ls-электрона и для /г/ьэлектрона водородные функции с
эффективным зарядом соответственно Zx и Z2
жителем
Первый член в выражении для Г отличается лишь мно-:елем от кинетической
энергии электронов, которая
Д? = Д?\ + ЬЕ2,
i > к
получим:
§ 7] atom 169
причем верхний знак относится к паратерму 1snp1P, нижний- к ортотерму
1snp3P.
18. Пусть ty(x, у, z) является решением уравнения Шре-дингера,
относящимся к дискретному спектру энергии. Рассмотрим однопараметрическое
семейство нормированных функций вида X/:ty(X;e, Ху, Xz).
Выражение
V'} (Хх, Ху, Xz)'
+
-j-U(x, у, 2)|'}(Хх, Ху, Xz) |2J dx dy dz, как функция X, должно иметь
экстремум при X = 1, т. е.
C4L-0-
Переходя к новым переменным интегрирования Хх, Ху, Xz, получаем:
/(X) = x2f+x-v(7.
Откуда находим:
2Т - чП - 0.
Теорема вириала легко обобщается на случай системы многих частиц.
19-а) 2"/з^ - б) Z%W ' в> 2</ж * г> 2?/Ж '
д) ZVs~ , е) Zuh, ж) Zh'.
20. Полная энергия складывается из трех частей: кинетической энергии
электронов Т, энергии взаимодействия электронов с ядром Une и энергии
взаимодействия электронов между собой Uее. Два последних слагаемых имеют
следующий вид:
1 Г p(r)p(r')
Uee=2j | Г-Г'1 ¦
Чтобы вычислить кинетическую энергию, рассмотрим беско-
нечно-малый элемент объема атома dx. Число электронов
170 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
с импульсами, лежащими в пределах р и p-\-dp, пропорционально фазовому
объему и равняется
, 8кр2 dp rfx р2 dp
~~ (2те)3 ~ "^ ' '
Плотность электронов получится интегрированием по р от 0 до некоторого
