Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
находим окончательно:
дЕ _ V-e* /е2\* j U + 1) 1(1 : 1) - s (s + 1)
Эту формулу можно записать короче, так как в нашем случае s = V2 и
возможны два случая у = I - 72 и j = 1-\-1/2. Как легко проверить, при
этом
I при y = /+Y
2fe -j (У+ 1)-Z (/+ l)-s ("+1)=
так что для любых j и /
-(Н-1) при у ==/_!,
ДЕ,
(ie4 /е2\3 1 /
2~ Й2 2лИ . . 1 ^ . 1
\ J+Y 1+~2
Складывая Д?2 с поправкой, учитывающей зависимость массы от скорости АЕ1
(см. предыдущую задачу), получаем:
/&\ J_ /_3-----1-\
W\hc}n*\8n 2/ -|- 1/
Это выражение не зависит от I, т. е. два уровня с одинаковым у и разными
I имеют одинаковую энергию (вырождены).
12. При [3-распаде ядро трития превращается в ядро изотопа гелия Не3.
Влияние [3-распада на атомный электрон заключается по существу в том, что
за короткое время
4- Й3
~4 потенциальная энергия электрона в атоме изменяется
е2 2е2
и вместо U - - - становится равной 13 =--------------. Время t
§•7] ATOM 161
можно оценить как время пролета [З-электрона через атом
v
где а0 = - , v - скорость ^-электрона. Поскольку энергия
о j. п 1 Й3
p-электрона порядка нескольких кэв, находим 0,1-^j-.
Волновая функция электрона не успевает измениться за время t, что следует
из уравнения Шредингера:
Разложим волновую функцию электрона <Ь по собственным функциям электрона
в поле Z - 2.
^=2^"+/ dk-П
Коэффициенты разложения
Сп У УгТ*и С к = J 'Y-lk dx определяют вероятность возбуждения
"""=21 °п I2
и ионизации
^иоп У 1 Ch |2 dk.
Поскольку ф-сферически-симметрична, то сп и ch отличны от нуля лишь в том
случае, когда состояния п, k являются "-состояниями (/ = 0).
Поскольку
Н+1.". ^).
находим:
162 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Полагая Z = 2, Z'- 1, получаем для я = 1:
16/2
27 '
т. е. вероятность того, что ион Не3 будет в основном
1 g \ з
состоянии (r)j = | Cj |2 = f-g-j =0,70. Следовательно, суммарная
вероятность возбуждения и ионизации будет равна 1-w1=0,30. Для п = 2, с2-
-w2 - 0,25.
С помощью формулы F (а, р, 7, х) = (1-(-у - а, к- ,3, 7, х) находим:
, 29"-r> (П- 2)2"-4
70/ = z1 11 =-------------¦
wn I 111 (П -f- 2)a"+"t '
Приведем значения вероятностей возбуждения, вычисленных с помощью этой
формулы, для нескольких первых уровней:
/ 8 \3 1 2335 , "0/
(tm)1==Ы' (tm)2=Т' w3=5to-^b3%,
921
(tm) ~ О 39°/
4: 2W3ti! /О-
13. Гамильтониан имеет следующий вид (все расчеты будем производить в
атомных единицах e = h - \i.- \)
Я = - -^Д! - уД2 -- - -+ - .
2 1 2 2 /-t г2 1 /-12
Согласно вариационному принципу надо вычи:лить интеграл
?(Z') = JV(ri' гг)Н'Агv r2)dxldz2
и определить величину Z' из условия = 0.
В нашем случае
6 (Гр г2) = се~ +
причем нормировочная постоянная с -= - .
§ 7]
ATOM
163
Интегралы от первых четырех членов легко вычисляются
'12
в эллиптических координатах:
5 Ту -|- /*2" t = Гх-------Т 2) U = /*^2?
dxj dt2 = тг2 (s2 - t2) и ds dt du,
В результате вычисления имеем:
Из условия минимума /: (Z') находим:
При этом значении Z' энергия основного состояния
Чтобы получить представление о точности проведенного расчета, вычислим
ионизационный потенциал гелия (Z = 2) и сравним результат с
экспериментальными данными. Ионизационный потенциал гелия /це равняется
разности энергий однократно ионизированного атома гелия и нейтрального
атома гелия в основном состоянии. Значение /не равно
/не = 0,8476 ат. ед. = 1 ,Q95Ry *). Экспериментальное значение /ц0=
1,810.
*) 1 ат. ед. энергии = 2Ry = 27 эв.
XWv rz) ^xi dt2 = Z'2 - 2ZZ'.
Что касается интеграла с -, то его удобно вычислить
глъ
со
S
= 7х2с2 du J d
0 0 -и
Окончательно получаем:
Е (Z') = Z'2- 2ZZ'
du I dte~2Z's -
и
164
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Экспериментально известны также ионизационные потенциалы других
двухэлектронных систем Li+, Ве++ и т. д. Сравнивая их с вычисленными,
получим:
ю S' II N + + + + О
Элемент ч CN II N О) Е со II N + ? II N + + <и CQ II N + + + CQ
Вычисление /(Ry) . . . 1,6952 5,445 11,195 18,945 28,695
Экспериментальное I (Ry) 1,810 5,560 11,307 19,061 28,816
Результаты вычисления энергии основного состояния находятся в
удовлетворительном согласии с опытом.
15. У атома гелия в нормальном состоянии орбитальный и спииовый моменты
равны нулю. Вследствие этого гелий обладает диамагнитными свойствами.
Диамагнитная восприимчивость, рассчитанная на один грамм-атом, дается
следующим выражением:
eWA - -
где
r\ + r\ = j (г\4- /2) •'/ dx 1 dx2\
Na-число Лвогадро. Приближенное выражение для волновой функции основного
состояния атома гелия
7/з
'i (г., г Л = -5 e~z' + га)/°.
141 * па*
Вычисление среднего значения с помощью этой функ-
ции приводит к следующему результату:
§ 7] atom 165
Подставляя это значение в выражение для диамагнитной
восприимчивости, находим:
Х=-----1.67 - 10-".
Экспериментальное значение диамагнитной восприимчивости
Х = - (1,90 ±0,02) • 10~6.
16. Введем для удобства следующие обозначения:
= a, Z2 = 2[3, 2Zi/a = a, cZ't = b.
Из условий ортогональности и нормировки находим:
TZ2 = i( а+р), Ъ* =----------^------
00'
2 - а2_ар^_ра ¦
