Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдман И.И. -> "Сборник задач по квантовой механике" -> 32

Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.

Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике — М.: ГИТТЛ, 1957. — 273 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpokvantovoymehaniki1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 56 >> Следующая

круговым орбитам осуществляется при выполнении условия Е' <^Е" или п
<С]т- • Это условие, очевидно, выполняется лишь при положительных т и
поэтому может быть записано в виде п<^т.
11. Приравнивая нулю подкоренное выражение, получаем для т > 0
^-V Л()f n+m+Y-V п+\
12. _______________________
Ар ~ л/~ - ¦
г У е$е
14. Уравнение Паули имеет вид
is4 (c)-""(I; (c)¦
где Н0 = щ^^р- а - магнитный момент
частицы. Будем искать волновую функцию в виде
(У-**- * *¦ 'К?,")-
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 151
Здесь функция <р является решением уравнения
Тогда для спиновой функции получаем уравнение
15. Поскольку Мх-Шу - 0, г= &6 {t), имеем:
ibd-? = v.0$e(t)S
Решения этих уравнений имеют вид
t
st = cte 0
t
Постоянные и c2 находим из начальных условий:
Cj = e_istcos8, c2 = eictsino. Из вида функции Sj иследует, что
вероятность той или иной ориентации спина на ось z не меняется со
временем. Среднее значение проекции спина на ось х определяется
выражением
sx = -j sin28-cos { ^ J 3@(t)dt - 2а J
о
и аналогично этому
t
Sy = - y sin25-sin j j* 30{t)dt- 2a j.
о
Направление, вдоль которого проекция спина имеет значение -j- 7г>
характеризуется полярными координатами 0 = 2о, t
Ф
= 2^а - -у- | @№(t)di^. Таким образом, это направление
152
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
описывает с течением времени коническую поверхность. При постоянной
напряженности поля прямая, "вдоль которой направлен спин", равномерно
вращается вокруг направления
магнитного поля с частотой
h
16. Состояние с произвольной поляризацией падающего пучка всегда может
быть представлено как суперпозиция
двух состояний, в одном из которых спин направлен
вдоль оси z, а в другом в противоположном направлении. Рассмотрим
сначала случай, когда спины нейтронов
в падающем пучке направлены по оси г. Тогда падающая,
отраженная и преломленная волны будут иметь вид
Л ( о ) eikr, 5 ( о ) eik'r • ^ (о) eik°r-
Величины k, kv k2 связаны с полной энергией Е и магнитным моментом |j.0
нейтрона соотношениями:
о /ДО h2k2. h2kl
k = T' Цг = Е' -щг = Е' V"?+^7-
Из условия непрерывности на плоскости раздела (х = 0) волновой функции и
ее производной по х следует:
Ъ -- Ъ ¦- Ъ Ъ - Ь - ъ
Ку - KLy - /С2yi Kz -- KLz - /С2г,
Л + ? = С,
+ klxB - k2xC.
Из этих соотношений вытекает, что klx =- kx, т. е. угол падения ср равен
углу отражения ох. Положим для простоты ky= 0. Решая уравнения, находим:
/ В \ kx / С \
\ А ) kx-\- k^x \ А )
&Х "f- &2х
Таким образом, коэффициент отражения R равен
Г) __ /
\ А ) \ kx -(- )
§ 6]
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
153
Если спины нейтронов ориентированы в -противоположном оси г направлении,
то в этом случае
/
h"k:
а в остальном результаты будут те же. Так как |а0 для нейтрона
отрицательно, то угол преломления ср2| > ср > ср2| (см. рис. 27).
В случае произвольной ориентации спина нейтронов волновая функция в
области х > 0 будет иметь вид
с, (J,) с, (J )"*'•*",
где С| и С| - коэффициенты разложения начального спинового состояния
им?)-
Простая оценка показывает, что даже при ,^?~104 заметное отражение будет
иметь место только для очень медленных (тепловых) нейгро-
О
нов (Х~1А) и при угле падения ср,

отличающемся от у на доли градуса.
17. Уравнение Шредингера для имеет вид
по состояниям
в 2-представлении д
Рис. 27. спиновой функции
ih
dt
Же,
¦ ,
1 i&ffy - &6г
(здесь и. - магнитный момент частицы). Введем обозначения
А Ш COS & :
: а,
sin 1
ft -
b.
Ji h
В новых обозначениях уравнения, определяющие компоненты Sj и s2, примут
форму
fi 9
= ias1 -f- ibe~imts2,
dt
ds2
dt
ibexmtsi - ias2.
154
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение этой системы уравнений: s, = Ае*Р'{ ВеЫ,
oiwt
Р\ Aoin.t А а + р
где
"ов-2 .
Pt = }/~ ? + а2 + ^2 +
Рг = ~ }/~ j + a2+*2+wa
Величины Л и В определяются из начальных условий и условия Нормировки |
Sj |2-)- | s212 = 1 •
Проделав несложные вычисления, получаем для вероятности перехода
следующие значения:
р (т ¦ - т)= i + ^S-2gcos" sin2 [т ш (1 - 2? cos а+?2),/*],
где <7 есть отношение частоты ларморовской прецессии к частоте си
вращающегося магнитного поля
__ _о>о
Йш о)
Величина q положительна, если магнитное поле вращается в направлении
прецессии, и отрицательна, если вращение происходит в обратном
направлении.
р о V + wl
Если угол О мал, т. е. -------------- 1, то вероятность
перехода приближенно равна
р (т ¦ - i) = (i-?Ta+^sin2 [4 " l<1 ~q)2+•
Из этой формулы следует, что при резонансном соотношении о) = о)0, т. е.
при <7 = -)-1 вероятность переориентации магнитного момента относительно
магнитного поля,
равная Р ,---------- j яй sib2 у f), может оказаться близкой
к единице при некотором значении t.
Если же в рассматриваемом случае изменить направление вращения магнитного
поля (или изменить знак у e%?g), то
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 155
для вероятности перехода получим величину
-Y) = Tsil'2<
значительно меньшую единицы. На основании такого резкого качественного
различия можно определить знак магнитного момента частицы
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed