Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдман И.И. -> "Сборник задач по квантовой механике" -> 31

Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.

Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике — М.: ГИТТЛ, 1957. — 273 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpokvantovoymehaniki1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 56 >> Следующая

Волновая функция ф(лг,_у, t) может быть найдена в явном виде, если
начальная функция задана в форме
Vx-x^ t{y-yA+-у ф(дг, .у, 0) = е 21 -1 й .
Полагая все Апт = 0, за исключением Л00=1, находим, что такой волновой
пакет не расплывается в плоскости ху, а его центр тяжести описывает
классическую траекторию.
2. Для нахождения оператора v надо прокоммутировать вектор г с
гамильтонианом
Ь = \{Нг-гН)-,
так как то находим:
Теперь найдем правила коммутации этих операторов
= а2 г ^ (Рх-Ау АуРх) Ч~ (Ру^Х АхРу)\ -
u.:iC
ieh /М" ieh
/ У UAX\
(x3c \ dx dy ) (x2c
Путем циклической перестановки получаем остальные два соотношения.
1П Зак. 1750. И. И. Гольлман. В. Л. Коивченкав
146 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3. Направим ось 2 по направлению магнитного поля, напряженность
которого обозначим через е%?.
Компоненты скорости частицы удовлетворяют следующим правилам коммутации
(см. задачу 2 § 6):
АЛ Л Л ieti ЛЛ Л Л АЛ л. л
- vvvx = -^3e' -= Vtvx - vxvg = 0.
Оператор энергии равен
2 1 2 1 2
Представим Н в виде суммы двух коммутирующих операторов
й Г"* , К ZJ ^
2 + 2 ' ¦
Собственные значения Н равны сумме собственных значений Нх и Нг. Найдем
собственные значения Нх. Для этого введем новые обозначения vx = aQ, vy =
аР, где
eh&6 rj
-- . В переменных Р, Q правило коммутации имеет вид PQ-QP = - i, а
оператор H1=h-^~y[
X(^2 + Q2). На основании задачи 5 § 1 собственные значения Я,
/
= (rt+V2) (1 = 0, 1, 2, ...).
Собственные значения Н2 образуют непрерывный спектр. Итак, энергия
движения в магнитном поле
2
п. f- е<Ж , I 1 , \ I
(Л ч- v2) Н-а - -
4. Направим ось z по направлению магнитного поля, а ось х вдоль
электрического поля. Векторный потенциал магнитного поля возьмем в виде
Ау = (Шх, Ах = Аг = 0. Оператор Гамильтона в этом случае запишется
следующим образом:
§ 6) ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 147
Вводя обозначение
е&е ' 1J.C(r)
---х- Ри -1-- = ",
получим для И выражение
Я= Р* I Ру°& |J'C^2 р*
2[х ' 2да2 "Г 2[х '
Соотношение коммутации между ^ и х
л л . Ъе&в
Рх* - *Рх = - ¦
Отсюда находим, что собственные значения оператора
^,2 2.2 л р 71
- совпадают с уровнями энергии осциллятора,
колеблющегося с удвоенной частотой Лармора
= h ~ (Я + 1/*)-
Поскольку операторы ру и рг, входящие в последние слагаемые оператора
Гамильтона, коммутируют с Hv оператор
?. р\ Ру°$ ,J.C2?2
Л2==-^----------------2^г может быть приведен одновре-
менно с Н1 к диагональному виду.
Итак, энергетический спектр частицы
F -%е&в(п | 1м | р2 рУс&
nnVyVz - n JJ.C se 2да2 •
Сравнение с результатом предыдущей задачи показывает, что электрическое
поле снимает вырождение, которое имеет место в случае одного только
магнитного поля: энергетические уровни при наличии электрического поля
зависят от трех квантовых чисел.
5. *1прург (х, у, z) =
ю*
148 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
6.
Efimk ¦- (r) V 0)2 Ч~ №о "Н m I Ч~ 04" Ч~ ?]шо (k 4 7г)'
где
(0=-^- (л = 0, 1, 2, .... /и = 0, =tl,=±2...........
6 = 0, 1, 2, . . .)•
7.
^) = (|г^ + т)С08ш'+
+ ( -fS-^+f-) 51п^ + ("^^ + т)'
+ (~^^+i) С05(^+(-^^+т)-
еН
Здесь ш = - (удвоенная частота прецессии Лармора).
(J,с
8. Уравнение Шредингера в цилиндрических координатах р, ф, z имеет вид
fi2 I д2ф i d2i> . 1 d-\> l_d3^i ieh d'b . e2<^?3 2 ,
2(j. 1 dz1* dp2 "* p <?p+ P2 ^;p2 j 2|лс dcp ^ 8[j-ca ^ ^
Решение ищем в форме
= ?ф.
Ф(Р> <Р> 2) = -l=R ([j)elk^ eim'f. у 2п
Обозначим через -( и (3 величины
•Y О 2\>-Е________________,2
1 ~ 2Ch ' р ~ № **'
В уравнение, определяющее радиальную функцию R(р),
R"+у R' + (р ¦- Т2Р2 - 2Т/я -^)я = о введем новую независимую переменную
? = fp2, тогда + + ( - - 1 ' т*
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 149
Искомая функция при % -> оо ведет себя как а при
малых ? пропорциональна Решение дифференциального
уравнения (1) ищем в виде
находится из уравнения
Ъю" -)- (1 -|~ | т | - w' -)- ^Х-w =
решение которого представляет вырожденную гипергеомет-рическую функцию
w = F{- (X- -1 , | "г | -J-.. 1 Л} •
Для того чтобы волновая функция была конечна, величина
1 Iт I + 1
I----!-lj- должна равняться целому неотрицательному
числу п. Таким образом, уровни энергии определяются выражением
Ё
(j-c \ 1 2 ' 2 1 2 / 1 2р.
9. В цилиндрических координатах
Jf = о,
, __(ehm \ . ,,
'Р ^ р.р 2[ас Pj I тптойг Г'
Л = ^|'Кж*г|2-
10. Уравнение для радиальной волновой функции R подстановкой и- У р R
приводится к виду
и" +
2 ;х ,2 1 / . 2\2
/,2? p2(OT + 2ficP
и = 0,
при этом /;г2-------- заменяется на тг *). Выражение
,, , ч й2 / , еда 2\2
^эфф(р) -)
*) Эта замена аналогична замене I (/ -j-1) -> (/ + V2)2 11 может быть
обоснована способом, указанным при решении задачи 2 § 5.
150 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
можно рассматривать как эффективную потенциальную энергию при одномерном
движении.
Из условия квантования
W %E-k\-±{m+e-$Lp)*d?=:K{n + 4J
Pi
получаем энергетический спектр:
Энергия, отсчитываемая от минимума ?/Эфф(р)
?/=!^(я + 1/2) представляет собою энергию радиального движения, а энергия
Е" = ^(" + М)
соответствует энергии вращательного движения. Переход к классическим
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed