Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
18. а) ;(0=?/+*,
im = ?i\+%i+z. б) 1(о = Ф" + !^2( "*•-рр*),
W)=(Jo"-Й ^ ^*а - г>*)¦
х (0 = (л:)о Н~~ ^ t'
(Щ=(а^ч-i-("^-??•)"]J ?g)V
(ДЙ1 = (Д)01 + S ^ [1 - № - <>*)21 + 53 J (|)^'
(Дх)? = (Длс)§ + + ^ J (^) dx.
Замечание. Рассмотрим, например, совокупность частиц, у которых проекция
спина на ось 2 при / = 0 с достоверностью имеет значение +1/2, т. е. а=1,
р = 0. Как легко видеть из полученных результатов, если на пути таких
частиц, движущихся в неоднородном магнитном поле, поставить экран, то на
нем этими частицами будет образовано два пятна. 2-координаты этих пятен
будут одинаковы, а _у-е координаты противоположны по знаку.
19. Направление магнитного поля будем характеризовать полярными углами
ft, ср. Углы ft и ср являются функциями времени. Оператор Гамильтона для
нейтральной частицы представим в виде
И = - у-Ш (J& sin 0 cos (r)-f- jy sin 0 sin cp -)- У? cos!));
156 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
здесь $6 - абсолютное значение напряженности магнитного поля. Обозначим
через J,j оператор момента в направлении магнитного поля
Jе = Jx sin Я cos <р -(- Jy sin ft sin ср Jz cos ft
и введем функции которые являются собственными
функциями оператора J^, т. е.
Цт V) = nvbm (t).
Будем искать решение уравнения Шредингера
в виде
am(t)^m{t).
Как известно (см. задачу 19 § 4),
1 />\ -j/ (r) ~it/ ^ 1^)
где удовлетворяет соотношению
j ,i/°) -
Jz i*n - ffrxin •
Вычислим сперва tym(t). Воспользовавшись соотношениями ег^у*)ге~г^уь = Jz
cos ft - Jx sin ft,
Jxtym - ~2 VUm)U - m-\- 1) ^m-i +
H- 2" КО H- m H- 1)0' - m) '^>n+1 '
Jy'im = ~2 V U 4" m) О m-\- 1) 'tfS-i
¦- ~2 Vи H- m H- i)o-m) 't'wh i >
имеем:
фт (0 = (- щт cos ft) (0 +
+ "2 V^O + ^ + 1)0----------т) (*9 siil ^ -^) 4W 1 (О Н"
+ Y 'Ко + т) U - т + 1) (/<? sin ft + ft) Ьт_! (*).
§ 7] atom 157
Подставляя значение m(t) в выражение Я 2 {'>ш (0 ат (0 + ат (0 (0} =
" 1^ 2 (0 (О,
т т
получаем систему уравнений, определяющих изменение коэффициентов ат во
времени:
ih ту.$6ат = - /ийср cos ftam -f-
+ -i-A(cpsin& + /4)Vr(y+"t)0' - l)a",-i +
+ у h (cp sin 0 - /ft) /(/ - m) (У + m + 1) am+1.
Если
kf,
т. e. угловая скорость изменения направления магнитного поля много меньше
частоты прецессии, то в приведенной системе уравнений можно пренебречь
правой частью и тогда
i m^t ат~е й ¦
Таким образом, в этом случае вероятности различных значений проекции
момента на изменяющееся во времени направление магнитного поля остаются
постоянными.
§ 7. АТОМ
1. Из написанного неравенства получаем:
J | V ^ |2 dt + Z f (У\^\2\r)dx-\- Z2 f (V г)21 ф |2 dx > 0.
Производя во втором члене интегрирование по частям и
2
замечая, что (V г)2 = 1, а А/¦ = -, имеем:
iJ |V^|2dt- ( 2dx> -|i| 2dx.
Левая часть неравенства представляет среднее значение
158 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1 Z
оператора Гамильтона *) Н = --^-Д - - в состоянии 6. Нижнее Z2
значение энергии------достигается в состоянии с волновой
функцией 60, удовлетворяющей уравнению первого порядка V -h ^ V л = О,
откуда следует, что
%~e-Zr.
5. Вычисляем сначала волновые функции в импульсном представлении по
общей формуле
. рг
?<") = <W'J J "'nr)d'-
Для состояния Is находим:
ч 1 /2 а\*/3 fls ^рга! | '
Аналогично этому для состояния 2s получаем:
р2а2 1
1 /2а\'/и ~tP 7
9"<Й=4(т)''
(^+4)
1 \3'
Состоянию 2 р соответствуют 3 собственных функции (тг = - 1, 0, -j- 1)
ср(о) (р\ = _ /1 (?Y/s-------Е?.-------
1 n\h) (pW , J_\a '
\ ГР A)
I / a \ 3/a (px ± ip,.) a (±D (p) =---------=r-( -1 *
V2iAfi/
?2p
¦(Я + т)'
С помощью этих выражений находим распределение по импульсам
(нормированное):
(р) = | Ф (р) |2-6. /-1 ? - Yn*(п3 + (/ +1)2.
*) В единицах е - й - = 1.
§ 7] Атом 159
При заданном п минимальное значение это выражение имеет для "круговых
орбит", т. е. при 1=п-1
V7^T2 = ^nV^TY, =______I___.
2 г У2п 1
7. При л-j = 1, п2 = 0, т = 0
'I'l. о, о(?> 'Ц> ?) = ~у~ %2о(Г) ^00 (^> ?)Н"
+ у=/г21(/-)к10(", ср).
9. В неквантовой релятивистской механике функция Гамильтона имеет вид
H = V[х2с4~\-р2с2 - ]xc2~\-U (л)~ + U (/¦)+ Hv
причем
Н =_________EL
1 8|х'*са'
Будем теперь считать р оператором р= - гйV, а Нг рассмотрим как малое
возмущение. Тогда в исходном приближении имгем уравнение Шредингера -)- U
(/")J & = Е'\,
а искомая поправка к энергии в состоянии п, I, т
Д?1 = ¦- 8^ J Vh dx = - 2^ J if* (E - U (r))2 6 dx = It?l\2
3?2 U3/ Г 2 1 Ipe* le2\2
2,u.c2 л:|)лса(2/+1) L8^4 (2/ + l)/!:*J m \hc) •
10. Вместо того чтобы исходить из невозмущенных вол-
новых функций с определенными 1г и sz и затем решать секулярное
уравнение, удобно выбрать в качестве исходных волновых функций
собственные функции с определенным I2 и j2, где - полный
момент, коммутирующий, как
нетрудно проверить, с Н2. Замечая, что по классу рассматриваемых функций
справедливы соотношения
>=У(У+ 1 ) = *(*+ !) + *(*+ 1)+2&
160
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
находим:
77 j(j + l)-l(l+l)-s(s + l)^(l dU\ ДС2 л 2 ¦ ^2^ " п \г
drJ-
Для атома водорода U = - -и поскольку
I
г3 nm + i)(i +±)1 *
У.
йа АпЧ (/ + !)(/+!)
